Fonction point d'interrogation

Modèle:Redirect La fonction point d'interrogation, ou fonction de Minkowski, est, en mathématiques, une fonction, notée Modèle:Math (ou $x \mapsto ? (x)$ ).

Cette fonction fut définie par Hermann Minkowski en 1904^[1] afin d'obtenir une application continue de l'ensemble des irrationnels quadratiques de l'intervalle ]0, 1[ vers l'ensemble des nombres rationnels du même intervalle. La définition courante actuelle fut posée par Arnaud Denjoy en 1938^[2]. Sa restriction aux nombres rationnels est une fonction strictement croissante, dérivable, et de dérivée partout nulle.

Définition

Soit Modèle:Mvar un nombre réel.

Si Modèle:Mvar est rationnel, il a deux représentations en fraction continue (finie) : Modèle:Math où Modèle:Mvar est au moins égal à 2. On pose alors :

? (x) = a_{0} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k + 1}}{2^{a_{1} + \dots + a_{k} - 1}}

On peut expliciter cette expression en calculant la somme et en exprimant le résultat sous forme de développement en base 2 d'un nombre inférieur à 1 ; en utilisant la notation

(0, ε_{1} ε_{2} \dots)_{2}

pour le nombre

(0, ε_{1} ε_{2} \dots)_{2} = \sum_{k = 1}^{\dots} \frac{ε_{k}}{2^{k}}

on obtient :

? (x) = a_{0} + (0, \underset{a_{1} - 1}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} \underset{a_{2}}{\underset{⏟}{1 \dots 1}} \dots \underset{a_{n} - 1}{\underset{⏟}{ε \dots ε}} 1)_{2}

Si Modèle:Mvar est irrationnel, il a une unique représentation en fraction continue (infinie) : Modèle:Math. On pose alors :

? (x) = a_{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{2^{a_{1} + \dots + a_{k} - 1}}

somme d'une série convergente. Ici aussi, en réécrivant la somme sous forme de nombre binaire on obtient une expression simple :

? (x) = a_{0} + (0, \underset{a_{1} - 1}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} \underset{a_{2}}{\underset{⏟}{1 \dots 1}} \underset{a_{3}}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} \dots)_{2}

Exemples

Pour un entier, son développement en fraction continue se résume à :

\forall n \in ℤ n = [n] = [n - 1, 1]

:

? (n) = n

Modèle:Sfrac est un rationnel :

\frac{24}{17} = [1, 2, 2, 2, 1] = [1, 2, 2, 3]

d'où

? (\frac{24}{17}) = 1 + \frac{(- 1)^{1 + 1}}{2^{2 - 1}} + \frac{(- 1)^{2 + 1}}{2^{2 + 2 - 1}} + \frac{(- 1)^{3 + 1}}{2^{2 + 2 + 2 - 1}} + \frac{(- 1)^{3}}{2^{2 + 2 + 2}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} - \frac{1}{64} = 1 + \frac{25}{64} = 1 + (0, 011001)_{2}

Modèle:Racine est un irrationnel :

\sqrt{2} = [1, 2, 2, \dots]

d'où

? (\sqrt{2}) = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{2^{2 k - 1}} = \frac{7}{5} = 1 + (0, 0 \overline{1100})_{2}

Propriétés

Il s'agit d'une fonction uniformément continue, strictement croissante, impaire et vérifiant sur l'ensemble des nombres réels l'équation fonctionnelle Modèle:Math. Elle est singulière, ce qui signifie que de plus elle est dérivable presque partout et de dérivée nulle presque partout^[3]; en particulier elle est dérivable, de dérivée nulle sur les rationnels. Par conséquent elle n'est pas absolument continue.

L'image de l'ensemble des rationnels par cette fonction est l'ensemble des rationnels dyadiques, et, du fait de la caractérisation des nombres algébriques quadratiques par la périodicité de leur développement en fraction continue, l'image de l'ensemble des irrationnels quadratiques est l'ensemble des rationnels non dyadiques.

Si Modèle:Sfrac et Modèle:Sfrac sont deux fractions irréductibles telles que Modèle:Math (deux éléments successifs d'une suite de Farey), alors

? (\frac{p + p^{'}}{q + q^{'}}) = \frac{1}{2} (? (\frac{p}{q}) + ? (\frac{p^{'}}{q^{'}}))

Toute fraction se décompose de manière unique comme médiane de deux fractions de numérateurs et dénominateurs plus petits (voir l'article sur l'arbre de Stern-Brocot) ; joint au fait que $? (0 / 1) = 0$ et $? (1 / 1) = 1$ , cela donne une définition par récurrence de la fonction Modèle:Math sur les rationnels.

La fonction point d'interrogation est un cas particulier des courbes fractales de De Rham.

La fonction boîte de Conway

La fonction point d'interrogation est bijective, et sa bijection réciproque a également attiré l'attention de divers mathématiciens, en particulier John Horton Conway, qui l'a redécouverte indépendamment, notant $\begin{matrix} x \end{matrix}$ la fonction Modèle:Math. Cette fonction (qui lui permet de résoudre le jeu des « fractions distordues »^[4]) peut être calculée à partir du développement binaire de Modèle:Math, où Modèle:Math note la fonction partie entière. Ce développement binaire est formé de Modèle:Math zéros, suivis de Modèle:Math uns, puis de n₃ zéros et ainsi de suite. Posant Modèle:Math, on a alors

$\begin{matrix} x \end{matrix} = [n_{0}, n_{1}, n_{2}, n_{3}, \dots]$ ,

la notation de droite représentant un développement en fraction continue.

La fonction boîte de Conway s'obtient également à partir de la suite diatomique de Stern^[5].

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

Liens externes

Modèle:Portail

↑ Modèle:Chapitre.
↑ Modèle:Article.
↑ Précisément une fonction singulière est une fonction continue, non constante, dérivable presque partout et de dérivée presque partout nulle, voir par exemple Biblioni et al. en bibliographie
↑ Modèle:Ouvrage.
↑ Modèle:Article.

[1] Modèle:Chapitre.

[2] Modèle:Article.

[3] Précisément une fonction singulière est une fonction continue, non constante, dérivable presque partout et de dérivée presque partout nulle, voir par exemple Biblioni et al. en bibliographie

[4] Modèle:Ouvrage.

[5] Modèle:Article.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Fonction point d'interrogation

Sommaire

Définition

Exemples

Propriétés

La fonction boîte de Conway

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

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Propriétés

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