Fonction à variation bornée

En analyse, une fonction est dite à variation bornée quand elle vérifie une certaine condition de régularité. Cette condition a été introduite en 1881 par le mathématicien Camille Jordan pour étendre le théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.

Définition

Soit Modèle:Math une fonction définie sur un ensemble totalement ordonné T et à valeurs dans un espace métrique (E, d).

Pour toute subdivision Modèle:Math d'un intervalle quelconque de T, on définit Modèle:Math par :

$V(f,\sigma )=\sum _{i=1}^{n}d(f(x_{i-1}),f(x_i)).$

On appelle variation totale de Modèle:Math sur T la valeur Modèle:Math ∈ [[Droite réelle achevée|Modèle:Surligner]] définie par :

$V_T(f)=\underset{\sigma }{\sup }V(f,\sigma ).$

On dit que Modèle:Math est à variation bornée si cette borne supérieure Modèle:Math est finie, autrement dit si l'« arc » (non nécessairement continu) défini par Modèle:Math est rectifiable au sens de Jordan.

Intérêt de la notion

Les fonctions monotones forment une classe importante de fonctions en analyse. Cependant elle présente l'inconvénient de ne pas être invariante pour des opérations algébriques basiques : la somme de deux fonctions monotones par exemple n'est pas nécessairement monotone. Comme toute fonction à variations bornées est somme de deux fonctions monotones et réciproquement, les fonctions à variations bornées peuvent être vues comme une généralisation des fonctions monotones mais avec l'avantage que l'ensemble des fonctions à variations bornées muni de l'addition ou de la multiplication forme un anneau : la somme et le produit de deux fonctions à variations bornées est à variations bornées.

Propriétés

• La variation totale (finie ou infinie) d'une fonction Modèle:Math continue sur un segment réel [a, b] est non seulement la borne supérieure des Modèle:Math quand Modèle:Math parcourt les subdivisions de [a, b], mais aussi leur limite, quand le pas de la subdivision Modèle:Math tend vers 0. On en déduit que pour une fonction continue à variation bornée Modèle:Math, l'application Modèle:Math est continue.
• Si φ est une bijection croissante d'un autre ensemble totalement ordonné S vers T, la variation totale de Modèle:Math∘φ sur S est égale à celle de Modèle:Math sur T.
• Pour tout espace vectoriel normé E, les fonctions à variation bornée forment un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de T dans E.
• Toute fonction Modèle:Math absolument continue (en particulier toute fonction lipschitzienne) est à variation bornée. Autrement dit : si Modèle:Math est intégrable au sens de Lebesgue sur un intervalle Modèle:Math alors, pour Modèle:Math fixé dans Modèle:Math, la fonction$x\mapsto F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ est à variation bornée. En effet,$V_a^x(F)\le \underset{a}{\overset{x}{\int }}|f(t)|dt\le \underset{I}{\int }|f(t)|\mathrm{d}t.$
• Toute fonction à variation bornée est réglée (c'est-à-dire limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier).
• Les fonctions à variation bornée d'un segment réel dans ℝ sont exactement les différences de deux fonctions croissantes (une telle décomposition Modèle:Math est loin d'être unique ; si Modèle:Math est continue, Modèle:Math et Modèle:Math peuvent être choisies continues : par exemple Modèle:Math et Modèle:Math). On en déduit que leurs discontinuités sont inessentielles et forment un ensemble au plus dénombrable et que ces fonctions sont dérivables presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue), de dérivées localement intégrables.
• Il existe des fonctions dérivables à variation totale infinie, comme la fonction Modèle:Math définie sur [–1, 1] par Modèle:Math si Modèle:Math et Modèle:Math.

Généralisation aux fonctions à variables multiples

Une définition étendue aux fonctions à variables multiples peut se faire par la variation de VitaliModèle:,. Proposée par Vitali, elle a été reprise par Lebesgue et Fréchet.

Soit une fonction f définie sur un pavé $[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]\subseteq {ℝ}^n$. On note :

${\mathrm{\Delta }}_{h_k}(f,x)=f(x_1,x_2,\cdots ,x_k+h_k,\cdots ,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots ,x_k,\cdots ,x_n)$

puis, de façon récursive,

${\mathrm{\Delta }}_{h_1,h_2,\cdots ,h_k}(f,x)={\mathrm{\Delta }}_{h_k}({\mathrm{\Delta }}_{h_1,h_2,\cdots ,h_{k-1}},x).$

On se donne ensuite des suites de points ${\pi }_k$ sur chaque direction $a_k=t_k^1<t_k^2<\cdots <t_k^{N_k+1}=b_k$, et on associe $h_k^i=t_k^{i+1}-t_k^i.$

Cette définition de la variation peut être étendue à travers la définition de la variation de Hardy-Krause : Modèle:Énoncé