Classification des discontinuités

En mathématiques, les fonctions continues sont d'une importance primordiale. Cependant, toutes les fonctions ne sont pas continues. On appelle discontinuité tout point du domaine d'une fonction où celle-ci n'est pas continue. L'ensemble des discontinuités d'une fonction peut être discret, dense voire être le domaine entier.

Dans cet article, seules les discontinuités des fonctions réelles à valeurs réelles seront étudiées.

Définitions

On considère une fonction à valeurs réelles $f$ de la variable réelle $x$ , définie sur un voisinage du point $x_{0}$ où $f$ est discontinue. On a alors trois possibilités :

la limite à gauche $L^{-} = \lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ et la limite à droite $L^{+} = \lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ en $x_{0}$ existent et sont finies et égales.Modèle:Retrait
les limites $L^{-}$ et $L^{+}$ existent et sont finies, mais ne sont pas égales.Modèle:Retrait
au moins une des deux limites $L^{-}$ et $L^{+}$ n'existe pas ou est infinie.Modèle:Retrait

L'expression « discontinuité apparente » est parfois utilisée au lieu de « singularité apparente », pour un point où la fonction n'est pas définie mais a une limite finie. C'est un abus de langage, puisque la (dis-)continuité n'a de sens qu'en un point du domaine de la fonction.

Exemples

Les seules discontinuités d'une fonction monotone sur un intervalle réel sont des sauts, d'après le théorème de la limite monotone.

La fonction

x \mapsto {\begin{matrix} x^{2} & si x < 1 \\ 0 & si x = 1 \\ 2 - x & si x > 1 \end{matrix}

est discontinue en $x_{0} = 1$ et c'est une discontinuité apparente. En effet, les limites à gauche et à droite en 1 valent toutes les deux 1. Modèle:Clr

La fonction

x \mapsto {\begin{matrix} x^{2} & si x < 1 \\ 0 & si x = 1 \\ 2 - (x - 1)^{2} & si x > 1 \end{matrix}

est discontinue en $x_{0} = 1$ et c'est une discontinuité de saut. Modèle:Clr

La fonction

x \mapsto {\begin{matrix} \sin \frac{5}{x - 1} & si x < 1 \\ 0 & si x = 1 \\ \frac{1}{x - 1} & si x > 1 \end{matrix}

est discontinue en $x_{0} = 1$ et c'est une discontinuité essentielle. Il aurait suffi qu'une des deux limites (à gauche ou à droite) n'existe pas ou soit infinie. Toutefois, cet exemple permet de montrer une discontinuité essentielle même pour l'extension au domaine complexe. Modèle:Clr

Classification par l'oscillation

L'oscillation d'une fonction en un point quantifie une discontinuité de la sorte :

pour une discontinuité apparente, la distance entre les limites et la valeur de la fonction au point est son oscillation ;
pour un saut, la taille du saut est son oscillation (en supposant que la valeur au point se trouve entre les deux limites) ;
dans une discontinuité essentielle, l'oscillation mesure l'incapacité de la limite à exister.

Ensemble des discontinuités d'une fonction

L'ensemble des points où une application de ℝ dans ℝ est continue est toujours un [[Hiérarchie de Borel#Définition de la hiérarchie de Borel|ensemble GModèle:Ind]]^[1]. De façon équivalente, l'ensemble de ses discontinuités est un [[Hiérarchie de Borel#Définition de la hiérarchie de Borel|ensemble FModèle:Ind]]. Réciproquement^[2], tout FModèle:Ind de ℝ est l'ensemble des discontinuités d'une application de ℝ dans ℝ.

Le théorème de Froda dit que l'ensemble des discontinuités de première espèce d'une fonction réelle est au plus dénombrable.

La fonction de Thomae est discontinue en tout rationnel et continue en tout irrationnel.

La fonction indicatrice des rationnels, ou fonction de Dirichlet, est discontinue en tout point.

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence, dont une référence était : Modèle:Ouvrage. Modèle:Références

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Modèle:Planetmath
Modèle:En « Modèle:Langue » par Ed Pegg, Jr., Modèle:Langue, 2007
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Modèle:Portail

↑ C'est vrai plus généralement pour une application d'un espace topologique dans un espace métrique. Pour une démonstration, voir par exemple la section « Discontinuités » de l'article « Oscillation (mathématiques) ».
↑
Dans Modèle:Lien web, Dave L. Renfro donne un lien qui fournit entre autres comme références, pour ce théorème qu'il numérote 2′ :
- [8] Modèle:Ouvrage ;
- [16] Modèle:Ouvrage, exemple 23 ;
- [20] Modèle:Ouvrage (solution du problème 1.8.b) ;
- [22] Modèle:Ouvrage ;
- [25] Modèle:Ouvrage, § 237 (très proche de la preuve originelle de William H. Young, 1903) ;
- [28] Modèle:Ouvrage, solution du problème 1.7.16 ;
- [38] Modèle:Lien web, exercice 3.11b ;
- [40] Modèle:Ouvrage, théorème 7.2 ;
- [41] Modèle:Ouvrage, § 472 ;
- [44] Modèle:Ouvrage, exercices 7.G et 7.H
et signale des généralisations, dont
- [5] Modèle:Article.

[1] C'est vrai plus généralement pour une application d'un espace topologique dans un espace métrique. Pour une démonstration, voir par exemple la section « Discontinuités » de l'article « Oscillation (mathématiques) ».

[2] Dans Modèle:Lien web, Dave L. Renfro donne un lien qui fournit entre autres comme références, pour ce théorème qu'il numérote $2^{'}$ :
[8] Modèle:Ouvrage ;

[16] Modèle:Ouvrage, exemple 23 ;

[20] Modèle:Ouvrage (solution du problème 1.8.b) ;

[22] Modèle:Ouvrage ;

[25] Modèle:Ouvrage, § 237 (très proche de la preuve originelle de William H. Young, 1903) ;

[28] Modèle:Ouvrage, solution du problème 1.7.16 ;

[38] Modèle:Lien web, exercice 3.11b ;

[40] Modèle:Ouvrage, théorème 7.2 ;

[41] Modèle:Ouvrage, § 472 ;

[44] Modèle:Ouvrage, exercices 7.G et 7.H
et signale des généralisations, dont
[5] Modèle:Article.

[3] [8] Modèle:Ouvrage ;

[4] [16] Modèle:Ouvrage, exemple 23 ;

[5] [20] Modèle:Ouvrage (solution du problème 1.8.b) ;

[6] [22] Modèle:Ouvrage ;

[7] [25] Modèle:Ouvrage, § 237 (très proche de la preuve originelle de William H. Young, 1903) ;

[8] [28] Modèle:Ouvrage, solution du problème 1.7.16 ;

[9] [38] Modèle:Lien web, exercice 3.11b ;

[10] [40] Modèle:Ouvrage, théorème 7.2 ;

[11] [41] Modèle:Ouvrage, § 472 ;

[12] [44] Modèle:Ouvrage, exercices 7.G et 7.H

[13] [5] Modèle:Article.

[1]

[2]

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Sommaire

Définitions

Exemples

Classification par l'oscillation

Ensemble des discontinuités d'une fonction

Notes et références

Voir aussi

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