Oscillation (mathématiques)

L'oscillation quantifie la tendance d'une fonction ou d'une suite à varier entre des valeurs extrémales. Il existe plusieurs notions d'oscillation : oscillation d'une suite de réels, oscillation d'une fonction à valeurs dans un espace métrique (comme ℝ), en un point ou sur une partie de son domaine de définition.

L'oscillation d'une suite (représentée en bleu) est la différence entre ses limites supérieure et inférieure.

Définitions

Oscillation d'une suite réelle

L'oscillation Modèle:Math d'une suite réelle Modèle:Math est la différence entre ses limites supérieure et inférieure :

$\omega (a)=\mathrm{lim\; sup}(a)-\mathrm{lim\; inf}(a)\in [0,+\mathrm{\infty }].$

Elle est définie sauf si cette différence est de la [[Indétermination de la forme ∞ - ∞|forme Modèle:Math ou Modèle:Math]], c'est-à-dire si la suite [[Limite d'une suite#Limite infinie|tend vers Modèle:Math ou vers Modèle:Math]]. Elle vaut Modèle:Math lorsque la suite n'est pas bornée. Elle est nulle lorsque la suite converge.

Oscillation d'une fonction sur une partie

Si Modèle:Math est une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble X, l'oscillation Modèle:Math de Modèle:Math sur une partie non vide Modèle:Math de X est la différence entre les bornes supérieure et inférieure de Modèle:Math sur Modèle:Math :

${\omega }_f(U)=\underset{x\in U}{\sup }f(x)-\underset{x\in U}{\inf }f(x).$

Plus généralement, si Modèle:Math est à valeurs dans un ensemble E muni d'une distance Modèle:Math, Modèle:Math est le diamètre de l'image de Modèle:Math par Modèle:Math :

${\omega }_f(U)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(f(U))=\underset{x,y\in U}{\sup }d(f(x),f(y))\in [0,+\mathrm{\infty }].$

Elle est toujours définie, et vaut Modèle:Math lorsque la fonction n'est pas bornée sur Modèle:Math.

Oscillation d'une fonction en un point

Lorsque le domaine Modèle:Math de Modèle:Math est muni d'une topologie, on définit l'oscillation Modèle:Math de Modèle:Math en un point quelconque Modèle:Math de Modèle:Math comme la borne inférieure de ses oscillations Modèle:Math quand Modèle:Math parcourt le filtre Modèle:Math des voisinages de Modèle:Math, ou même seulement une [[Base de filtre|base Modèle:Math de Modèle:Math]] :

${\omega }_f(a)=\underset{U\in V(a)}{\inf }{\omega }_f(U)=\underset{U\in W(a)}{\inf }{\omega }_f(U).$

Si de plus Modèle:Math est à valeurs réelles, cette oscillation est la différence entre [[Limites inférieure et supérieure#Suites généralisées|limites supérieure et inférieure de Modèle:Math en Modèle:Math]] :

${\omega }_f(a)=\underset{V(a)}{\mathrm{lim\; sup}}f-\underset{V(a)}{\mathrm{lim\; inf}}f=\underset{W(a)}{\mathrm{lim\; sup}}f-\underset{W(a)}{\mathrm{lim\; inf}}f.$

On peut toujours choisir pour Modèle:Math l'ensemble des ouverts qui contiennent Modèle:Math. Si l'espace topologique Modèle:Math est métrisable, on peut aussi choisir comme base la famille des boules (ouvertes par exemple) Modèle:Math de centre Modèle:Math et de rayon Modèle:Math et vérifier que

${\omega }_f(a)=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\omega }_f(B(a,\epsilon )),$

ce qui, si l'espace métrisable Modèle:Math est un ensemble de réels (muni de la distance usuelle), se réécrit :

${\omega }_f(a)=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\omega }_f(]a-\epsilon ,a+\epsilon [\cap X).$

L'oscillation de Modèle:Math en un point Modèle:Math de son domaine est nulle si et seulement si Modèle:Math est continue en Modèle:Math.

De plus, toutes les égalités ci-dessus s'étendent au cas où Modèle:Math n'est définie que sur une partie Modèle:Math de Modèle:Math à laquelle Modèle:Math est seulement adhérent, en remplaçant le filtre Modèle:Math des voisinages de Modèle:Math par celui, Modèle:Math, de leurs intersections avec Modèle:Math. L'oscillation de Modèle:Math en Modèle:Math est nulle si et seulement si le filtre image, Modèle:Math, est de Cauchy. Lorsque l'espace métrique d'arrivée Modèle:Math est complet, cela équivaut, à nouveau, à l'existence d'une limite en Modèle:Math pour Modèle:Math.

Lorsque Modèle:Math est métrisable et Modèle:Math complet, si Modèle:Math est continue sur le sous-espace Modèle:Math, elle s'étend continûment au [[Hiérarchie de Borel|GModèle:Ind]] des points adhérents à Modèle:Math en lesquels l'oscillation de Modèle:Math est nulle.

La notion d'oscillation en un point adhérent généralise aussi celle d'oscillation d'une suite dans ℝ à toute suite dans E, vue comme fonction sur l'espace discret Modèle:Nobr, en considérant Modèle:Math, adhérent à ℕ dans son compactifié d'Alexandrov Modèle:Nobr

Exemples

• Les seules suites périodiques d'oscillation nulle sont les suites constantes.
• L'oscillation de la suite aModèle:Ind = (–1)Modèle:Exp vaut 2.
• L'oscillation de la fonction x ↦ 1/x est infinie en 0 et nulle en tout autre élément de [[Droite réelle achevée|Modèle:Surligner]].
• Celle de la fonction sinus vaut 2 en Modèle:Math, et 0 ailleurs.
• Celle de x ↦ sin(1/x) vaut 2 en 0, et 0 ailleurs.

Discontinuités

L'application a ↦ [[#Oscillation d'une fonction en un point|Modèle:Math]] permet de quantifier les discontinuités de Modèle:Math et de les classer.

Elle est en outre semi-continue supérieurement, donc l'ensemble Modèle:Math des points de discontinuité de Modèle:Math est un [[Ensemble Fσ|FModèle:Ind]], comme réunion des fermés Modèle:Math = {a ∈ X | Modèle:Math ≥ 1/n}. Par passage au complémentaire, l'ensemble des points de continuité de Modèle:Math est un G_δ, intersection dénombrable des ouverts {a ∈ X | Modèle:Math , 1/n}.

Cela fournit aussi une preuve très rapide de l'une des deux directions du critère de Lebesgue pour l'intégrabilité de Riemann, à savoir : si Modèle:Math n'est pas Lebesgue-négligeable, alors Modèle:Math n'est pas Riemann-intégrable, puisque Modèle:Math.

Notes et références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Continuité de Cauchy
• Fonction à variation bornée
• Module de continuité
• Fonction à oscillation moyenne bornée
• Série de Grandi
• Théorème de Froda