Fonction bornée

Schéma d'une fonction bornée (rouge) et d'une fonction non bornée (bleu). Intuitivement, le graphe d'une fonction bornée reste dans une bande horizontale, contrairement au graphe d'une fonction non bornée.

En mathématiques, une fonction est dite bornée si l'ensemble de ses valeurs est borné.

Pour une fonction Modèle:Mvar définie sur un ensemble Modèle:Mvar et à valeurs réelles ou complexes, cela revient à dire qu'il existe un nombre réel Modèle:Mvar tel que pour tout Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar,

$$|f(x)|\le M.$$

Une fonction à valeurs réelles est dite majorée (Modèle:Resp. minorée) si l'ensemble de ses valeurs possède un [[majorant ou minorant|majorant (Modèle:Resp. minorant)]] réel. Elle est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples

• La fonction sinus $\sin :ℝ\to ℝ$ est bornée (minorée par Modèle:Math et majorée par Modèle:Math).
• La fonction $x\mapsto 1/x$ définie pour tous les réels Modèle:Mvar à l'exception de Modèle:Math est non bornée. À mesure que Modèle:Mvar s'approche Modèle:Math, les valeurs de cette fonction deviennent de plus en plus grandes. Cette fonction peut être rendue bornée si on la restreint par exemple à Modèle:Math.
• La fonction $x\mapsto 1/(x^2+1)$ définie pour tout réel Modèle:Mvar est bornée (l'ensemble de ses valeurs est l'intervalle Modèle:Math).
• La fonction circulaire réciproque arc tangente est bornée : pour tout réel Modèle:Mvar, $-\pi /2<\arctan x<\pi /2$.
• Une suite bornée est une fonction bornée définie sur l'ensemble ℕ des entiers naturels. L'ensemble de toutes les suites bornées forme l'espace des suites bornées, noté Modèle:Math.
• Toute fonction continue de Modèle:Math dans ℝ est bornée. Plus généralement :
  • toute fonction continue d'un espace compact dans un espace métrique est bornée (Modèle:Cf. Théorème des valeurs extrêmes pour plus de détails) ;
  • tout fonction localement bornée d'un espace dénombrablement compact dans ℝ est bornée et atteint ses bornes (voir Passage du local au global).
• Modèle:Pertinence contestée

Remarques

• L’ensemble des fonctions réelles bornées sur un même ensemble constitue un sous-espace vectoriel stable aussi par multiplication, ce qui en fait une algèbre normée par la norme infini. Plus généralement, cet ensemble est stable par composition par une fonction continue. Cela implique notamment que toute variable aléatoire réelle bornée admet des moments à n’importe quel ordre.
• Toute fonction monotone bornée sur un intervalle possède en chaque point une limite finie à gauche et une à droite : c'est le théorème de la limite monotone.
• Toute fonction entière bornée est constante : c'est le théorème de Liouville.

Notion connexe

Une famille de fonctions est Modèle:Lien si la réunion de leurs ensembles de valeurs est borné.

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