Espace de suites ℓp

En mathématiques, l'espace Modèle:FormuleModèle:Exp est un exemple d'espace vectoriel, constitué de suites à valeurs réelles ou complexes et qui possède, pour Modèle:Math, une structure d'espace de Banach.

Motivation

Considérons l'espace vectoriel réel ℝModèle:Exp, c'est-à-dire l'espace des n-uplets de nombres réels.

La norme euclidienne d'un vecteur $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ est donnée par :

$\Vert x\Vert ={(x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2)}^{1/2}$.

Mais pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut définir une autre norme sur ℝModèle:Exp, appelée la p-norme, en posant :

$\Vert x{\Vert }_p={(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\dots +|x_n{|}^p)}^{1/p}$

pour tout vecteur $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$.

Pour tout p ≥ 1, ℝModèle:Exp muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé. Comme il est de dimension finie, il est complet pour cette norme.

Espace ℓModèle:Exp

La p-norme peut être étendue aux vecteurs ayant une infinité dénombrable de composantes, ce qui permet de définir l'espace ℓModèle:Exp (noté aussi ℓModèle:Exp(ℕ) car on peut définir de même ℓModèle:Exp(X) pour n'importe quel ensemble X fini ou infini, le cas où X a n éléments correspondant au paragraphe précédent).

Plus précisément, ℓModèle:Exp sera un sous-espace vectoriel de l'espace des suites infinies de nombres réels ou complexes, sur lequel la somme est définie par :

$(x_0,x_1,\dots ,x_n,x_{n+1},\dots )+(y_0,y_1,\dots ,y_n,y_{n+1},\dots )=(x_0+y_0,x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n,x_{n+1}+y_{n+1},\dots )$

et la multiplication par un scalaire par :

$\lambda (x_0,x_1,\dots ,x_n,x_{n+1},\dots )=(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n,\lambda x_{n+1},\dots ).$

On définit la p-norme d'une suite $x=(x_0,x_1,\dots ,x_n,x_{n+1},\dots )$ :

$\Vert x{\Vert }_p={(|x_0{|}^p+|x_1{|}^p+\dots +|x_n{|}^p+|x_{n+1}{|}^p+\dots )}^{1/p}\in [0,+\mathrm{\infty }].$

La série de droite n'est pas toujours convergente : par exemple, la suite (1, 1, 1, …) a une p-norme infinie pour n'importe quel Modèle:Math.

L'espace ℓModèle:Exp est défini comme l'ensemble des suites infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est finie.

On définit aussi la « norme Modèle:Math » comme :

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\sup (|x_0|,|x_1|,\dots ,|x_n|,|x_{n+1}|,\dots )$

et l'espace vectoriel correspondant ℓModèle:Exp est l'espace des suites bornées.

Propriétés

• Pour tout ensemble X, l'espace ℓModèle:Exp(X) des fonctions bornées sur X (à valeurs réelles ou complexes) est de Banach, c'est-à-dire que toute suite uniformément de Cauchy de fonctions bornées sur X converge uniformément (vers une fonction bornée). De même, pour Modèle:Math, ℓModèle:Exp(ℕ) est de Banach. (Ce sont deux cas particuliers du théorème de Riesz-Fischer, qui concerne tous les [[Espace Lp|espaces Modèle:Math]].)
• Dans ℓModèle:Exp, un sous-espace remarquable est l'espace c des suites convergentes. Il est fermé (donc complet), puisque toute limite uniforme de suites convergentes est convergente ; ou encore : c est complet (donc fermé dans ℓModèle:Exp), puisqu'isométriquement isomorphe à l'espace (complet) des applications continues (donc) bornées sur le compact [[Nombre ordinal#En topologie|Modèle:Math]], compactifié d'Alexandrov de ℕ discret.
• Pour 1 < p < Modèle:Math, l'espace de suites ℓModèle:Exp est réflexif. Son dual est l'espace ℓModèle:Exp, avec Modèle:Frac+Modèle:Frac = 1 ;
• Dans ℓModèle:Exp, le sous-espace cModèle:Ind des suites de limite nulle n'est pas réflexif : son dual est ℓModèle:1 et le dual de ℓModèle:1 est ℓModèle:Exp. Par conséquent, ℓModèle:1 et ℓModèle:Exp ne sont pas non plus réflexifs.
• Pour tout r < Modèle:Math et tout Modèle:Math ∈ ℓModèle:Exp, l'application Modèle:Math est décroissante sur Modèle:Math. En effet, si p ≥ q ≥ r on a |Modèle:Math| / Modèle:Math ≤ 1 pour tout indice k, donc$|x_k{|}^p/\Vert x{\Vert }_q^p\le |x_k{|}^q/\Vert x{\Vert }_q^q;$en sommant cette inégalité sur k on en déduit Modèle:Math. La fonction Modèle:Math est aussi continue sur [[Droite réelle achevée|Modèle:Math]]. En particulier :$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\Vert x{\Vert }_p.$

Articles connexes

• Base de Schauder
• [[Espace Lp|Espace Modèle:Math]]
• Famille sommable

Liens externes

• Modèle:Autorité