Théorème de Riesz-Fischer

En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration, le théorème de Riesz-Fischer dit :

• qu'une fonction est de carré intégrable si et seulement si la série de Fourier correspondante converge dans l'[[Espace L2|espace Modèle:Math]] ;
• que l'[[Espace Lp|espace Modèle:Math]] est complet.

Ces deux énoncés (avec Modèle:Math = 2 dans le second) ont été démontrés en 1907 par le Hongrois Frigyes Riesz et l'Autrichien Ernst Sigismund FischerModèle:, : Riesz a démontré le premier énoncé et Fischer le second, à partir duquel il a redémontré le premier.

Convergence de la série de Fourier

Le premier énoncé signifie que si la somme partielle de la série de Fourier correspondant à la fonction Modèle:Math est donnée par

$S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^N{F}_n{e}^{\mathrm{i}nx}$,

où Modèle:Math est le Modèle:Math-ième coefficient de Fourier, donné par

$F_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x$,

alors

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert S_{n}f-f\Vert =0$,

où $\Vert \cdot \Vert$ est la norme Modèle:Math qui peut s'écrire pour une fonction Modèle:Math

$\Vert g\Vert =\sqrt{\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|g{|}^2}$.

Inversement, si Modèle:Math est une suite de nombres complexes indexée par l'ensemble des entiers relatifs telle que

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\left|a_n\right|}^2<\mathrm{\infty }$,

alors il existe une fonction Modèle:Math de carré intégrable telle que les Modèle:Math sont les coefficients de Fourier de Modèle:Math.

Ce théorème généralise l'inégalité de Bessel et peut être utilisé pour démontrer l'égalité de Parseval pour les séries de Fourier.

Complétude de l'espace Modèle:Math

Pour tout Modèle:Math, l'espace métrique Modèle:Math est complet. Dans le cas usuel Modèle:Math, c'est par ailleurs un espace vectoriel normé, donc un espace de Banach ; en particulier si Modèle:Math = 2, c'est un espace de Hilbert.

On démontre au passage que pour Modèle:Math, toute suite de Cauchy dans Modèle:Math — autrement dit, a posteriori : toute suite convergente dans Modèle:Math — possède une sous-suite qui converge presque partout.

Notes et références

• Modèle:En Richard Beals, Modèle:Langue, Modèle:Langue, 2004 Modèle:ISBN
• Modèle:En John Horváth, « Modèle:Langue » Modèle:Pdf