Fonction circulaire réciproque

Les fonctions circulaires réciproques, ou fonctions trigonométriques inverses, sont les fonctions réciproques des fonctions circulaires, pour des intervalles de définition précis. Les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécante sont appelées arc sinus, arc cosinus, arc tangente, arc cotangente, arc sécante et arc cosécante.

Les fonctions circulaires réciproques servent à obtenir un angle à partir de l'une quelconque de ses lignes trigonométriques, mais aussi à expliciter les primitives de certaines fonctions. Elles sont largement utilisées dans l'ingénierie, la navigation, la physique et la géométrie.

Noms et symboles

Les noms des fonctions circulaires réciproques sont formés en faisant précéder du mot arc le nom de la fonction circulaire correspondante : arc sinus pour le sinus, arc cosinus pour le cosinusModèle:Etc.

Pour noter les fonctions circulaires réciproques on utilise différents symboles :

• l'usage le plus répandu est de prendre le symbole de la fonction circulaire et de le faire précéder du préfixe arc- : Modèle:Math pour l'arc sinus de Modèle:Mvar, Modèle:Math pour son arc cosinusModèle:Etc. Sauf mention spéciale ces symboles représentent les valeurs principales (cf. infra) ;
  • dans les langages informatiques ces symboles sont souvent raccourcis en asin, acosModèle:Etc. (ou arsin, arcosModèle:Etc.) ;
• un autre usage consiste à mettre une majuscule initiale au nom de la fonction quand il s'agissait de la valeur principale, et de considérer le symbole sans majuscule comme représentant la fonction réciproque multivaluée. Selon cette notation, Modèle:Math par exemple est l'angle compris entre Modèle:Math et Modèle:Math dont le sinus vaut Modèle:Mvar, alors que Modèle:Math représente n'importe quel angle dont le sinus vaut Modèle:Mvar ;
• les textes en anglais utilisent souvent les symboles Modèle:Math, Modèle:MathModèle:Etc. Cette notation, introduite par John Herschel en 1813, est cohérente avec la composition des fonctions (la fonction réciproque d'une fonction Modèle:Mvar est souvent appelée inverse de Modèle:Mvar et notée Modèle:Math), mais elle ne l'est pas avec l'usage d'écrire Modèle:Math et Modèle:Math pour signifier Modèle:Math et Modèle:Math : on risque de confondre Modèle:Math avec Modèle:Math c'est-à-dire Modèle:Sfrac.

Propriétés fondamentales

Déterminations principales

Les fonctions circulaires n'étant pas injectives, leurs fonctions réciproques sont a priori multivaluées. Pour définir univoquement ces fonctions réciproques on doit restreindre chaque fonction circulaire à un intervalle sur lequel elle est bijective (branche principale). La fonction réciproque correspondante est appelée détermination principale.

Nom	Notation usuelle	Définition	Domaine de définition	Domaine image (radians)	Domaine image (degrés)
arc sinus	Modèle:Math	Modèle:Math	−1 ≤ Modèle:Math ≤ 1	−Modèle:Sfrac ≤ Modèle:Math ≤ Modèle:Sfrac	−90° ≤ Modèle:Math ≤ 90°
arc cosinus	Modèle:Math	Modèle:Math	−1 ≤ Modèle:Math ≤ 1	0 ≤ Modèle:Math ≤ Modèle:Math	0 ≤ Modèle:Math ≤ 180°
arc tangente	Modèle:Math	Modèle:Math	tous les nombres réels	−Modèle:Sfrac < Modèle:Math < Modèle:Sfrac	−90° < Modèle:Math < 90°
arc cotangente	Modèle:Math	Modèle:Math	tous les nombres réels	0 < Modèle:Math < Modèle:Math	0 < Modèle:Math < 180°
arc sécante	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math ≤ −1 ou Modèle:Math ≥ 1	0 ≤ Modèle:Math < Modèle:Sfrac ou Modèle:Sfrac < Modèle:Math ≤ Modèle:Math	0 ≤ Modèle:Math < 90° ou 90° < Modèle:Math ≤ 180°
arc cosécante	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math ≤ −1 ou Modèle:Math ≥ 1	−Modèle:Sfrac ≤ Modèle:Math < 0 ou 0 < Modèle:Math ≤ Modèle:Sfrac	−90° ≤ Modèle:Math < 0 ou 0 < Modèle:Math ≤ 90°

Si Modèle:Math est un nombre complexe (cf. infra), alors le domaine image indiqué ci-dessus ne s'applique qu'à la partie réelle de Modèle:Math.

Fonctions réciproques multivaluées

Dans les formules ci-dessous, Modèle:Mvar désigne un entier quelconque.

• $x=\sin (y)\iff y=\arcsin (x)+2\pi k\text{ ou }y=\pi -\arcsin (x)+2\pi k$

  ou, en une seule formule : $x=\sin (y)\iff y=(-1{)}^k\arcsin (x)+\pi k$

• $x=\cos (y)\iff y=\arccos (x)+2\pi k\text{ ou }y=2\pi -\arccos (x)+2\pi k$

  ou, en une seule formule : $x=\cos (y)\iff y=\pm \arccos (x)+2\pi k$

• $x=\tan (y)\iff y=\arctan (x)+\pi k$
• $x=\cot (y)\iff y=\mathrm{arccot}(x)+\pi k$
• $x=\sec (y)\iff y=\mathrm{arcsec}(x)+2\pi k\text{ ou }y=2\pi -\mathrm{arcsec}(x)+2\pi k$

  ou, en une seule formule : $x=\sec (y)\iff y=\pm \mathrm{arcsec}(x)+2\pi k$

• $x=\csc (y)\iff y=\mathrm{arccsc}(x)+2\pi k\text{ ou }y=\pi -\mathrm{arccsc}(x)+2\pi k$

  ou, en une seule formule : $x=\csc (y)\iff y=(-1{)}^k\mathrm{arccsc}(x)+\pi k$

Relations entre fonctions circulaires et fonctions circulaires réciproques

Le tableau ci-dessous indique le résultat des fonctions circulaires appliquées aux fonctions circulaires réciproques. On retrouve facilement ces valeurs en considérant un triangle rectangle dont un côté a la longueur Modèle:Math (n'importe quel nombre réel compris entre 0 et 1) et l'autre est de longueur unité.

$\theta$	$\sin (\theta )$	$\cos (\theta )$	$\tan (\theta )$	Diagramme
$\arcsin (x)$	$\sin [\arcsin (x)]=x$	$\cos [\arcsin (x)]=\sqrt{1-x^2}$	$\tan [\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos (x)$	$\sin [\arccos (x)]=\sqrt{1-x^2}$	$\cos [\arccos (x)]=x$	$\tan [\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
$\arctan (x)$	$\sin [\arctan (x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cos [\arctan (x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan [\arctan (x)]=x$
$\mathrm{arccsc}(x)$	$\sin [\mathrm{arccsc}(x)]=\frac{1}{x}$	$\cos [\mathrm{arccsc}(x)]=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$	$\tan [\mathrm{arccsc}(x)]=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$\mathrm{arcsec}(x)$	$\sin [\mathrm{arcsec}(x)]=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$	$\cos [\mathrm{arcsec}(x)]=\frac{1}{x}$	$\tan [\mathrm{arcsec}(x)]=\sqrt{x^2-1}$
$\mathrm{arccot}(x)$	$\sin [\mathrm{arccot}(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cos [\mathrm{arccot}(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan [\mathrm{arccot}(x)]=\frac{1}{x}$

Relations des fonctions circulaires réciproques entre elles

Graphe cartésien des valeurs principales d'Modèle:Math (en rouge) et d'Modèle:Math (en bleu), en fonction de Modèle:Math.

Graphe cartésien des valeurs principales d'Modèle:Math (en rouge) et d'Modèle:Math (en bleu), en fonction de Modèle:Math.

Graphe cartésien des valeurs principales d'Modèle:Math (en rouge) et d'Modèle:Math (en bleu), en fonction de Modèle:Math.

Angles complémentaires

$\begin{array}{cc}\arccos (x)& =\frac{\pi }{2}-\arcsin (x)\\ \mathrm{arccot}(x)& =\frac{\pi }{2}-\arctan (x)\\ \mathrm{arccsc}(x)& =\frac{\pi }{2}-\mathrm{arcsec}(x)\end{array}$

Arguments opposés

$\begin{array}{cc}\arcsin (-x)& =-\arcsin (x)\\ \arccos (-x)& =\pi -\arccos (x)\\ \arctan (-x)& =-\arctan (x)\\ \mathrm{arccot}(-x)& =\pi -\mathrm{arccot}(x)\\ \mathrm{arcsec}(-x)& =\pi -\mathrm{arcsec}(x)\\ \mathrm{arccsc}(-x)& =-\mathrm{arccsc}(x)\end{array}$

Arguments inverses

$\begin{array}{cc}\arccos \left(\frac{1}{x}\right)& =\mathrm{arcsec}(x)\\ \arcsin \left(\frac{1}{x}\right)& =\mathrm{arccsc}(x)\\ \arctan \left(\frac{1}{x}\right)& =\frac{\pi }{2}-\arctan (x)=\mathrm{arccot}(x),\text{ si }x>0\\ \arctan \left(\frac{1}{x}\right)& =-\frac{\pi }{2}-\arctan (x)=\mathrm{arccot}(x)-\pi ,\text{ si }x<0\\ \mathrm{arccot}\left(\frac{1}{x}\right)& =\frac{\pi }{2}-\mathrm{arccot}(x)=\arctan (x),\text{ si }x>0\\ \mathrm{arccot}\left(\frac{1}{x}\right)& =\frac{3\pi }{2}-\mathrm{arccot}(x)=\pi +\arctan (x),\text{ si }x<0\\ \mathrm{arcsec}\left(\frac{1}{x}\right)& =\arccos (x)\\ \mathrm{arccsc}\left(\frac{1}{x}\right)& =\arcsin (x)\end{array}$

Autres formules

Les formules ci-dessous sont utiles, soit quand on dispose d'une table incomplète (par exemple, pour la première, quand la table ne liste que des arguments inférieurs à ½), soit pour simplifier des formules obtenues lors d'un calcul de primitives (quand on rencontre l'un des seconds membres indiqués).

$\begin{array}{cc}\arccos (x)& =\arcsin \left(\sqrt{1-x^2}\right),\text{ si }0\le x\le 1\\ \arccos (x)& =\frac{1}{2}\arccos (2x^2-1),\text{ si }0\le x\le 1\\ \arcsin (x)& =\frac{1}{2}\arccos (1-2x^2),\text{ si }0\le x\le 1\\ \arctan (x)& =\arcsin \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)\end{array}$

Quand l'une de ces formules fait intervenir la racine carrée d'un nombre complexe (ou d'un nombre réel négatif), la racine choisie est celle qui a une partie réelle positive (ou une partie imaginaire positive).

Formules déduites de la tangente de l'arc moitié

$\begin{array}{cc}\arcsin (x)& =2\arctan \left(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)\\ \arccos (x)& =2\arctan \left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}\right),\text{ si }-1<x\le +1\\ \arctan (x)& =2\arctan \left(\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}\right)\end{array}$

Addition des arcs tangente

Modèle:Voir Si $uv\ne 1$, alors $\arctan u+\arctan v\equiv \arctan \frac{u+v}{1-uv}mod\pi$.

Calcul

Dérivées

Les formules ci-dessous sont valables pour Modèle:Math quelconque, réel ou complexe.

$\begin{array}{cccc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\arcsin (z)& =\frac{1}{\sqrt{1-z^2}};& z& \ne -1,+1\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\arccos (z)& =-\frac{1}{\sqrt{1-z^2}};& z& \ne -1,+1\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\arctan (z)& =\frac{1}{1+z^2};& z& \ne -\mathrm{i},+\mathrm{i}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{arccot}(z)& =-\frac{1}{1+z^2};& z& \ne -\mathrm{i},+\mathrm{i}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{arcsec}(z)& =\frac{1}{z^2\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}};& z& \ne -1,0,+1\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{arccsc}(z)& =-\frac{1}{z^2\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}};& z& \ne -1,0,+1\end{array}$

Les formules ci-dessous ne sont valables que pour Modèle:Mvar réel.

$\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsec}(x)& =\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}};& |x|>1\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsc}(x)& =-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}};& |x|>1\end{array}$

Expression sous forme d'intégrale définie

En intégrant les dérivées ci-dessus on peut exprimer les fonctions circulaires sous la forme d'intégrales définies de fonctions algébriques :

$\begin{array}{cccc}\arcsin (x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\mathrm{d}z,& |x|& \le 1\\ \arccos (x)& =\underset{x}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\mathrm{d}z,& |x|& \le 1\\ \arctan (x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{z^2+1}\mathrm{d}z,\\ \mathrm{arccot}(x)& =\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{z^2+1}\mathrm{d}z,\\ \mathrm{arcsec}(x)& =\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}\mathrm{d}z=\pi +\underset{x}{\overset{-1}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}\mathrm{d}z,& x& \ge 1\\ \mathrm{arccsc}(x)& =\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}\mathrm{d}z=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}\mathrm{d}z,& x& \ge 1\\ \end{array}$

Quand Modèle:Math = 1, les intégrales définissant Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont impropres mais convergent correctement.

Développement en série

Comme les fonctions circulaires, les fonctions circulaires réciproques sont développables en séries entières : Modèle:Voir

$\arcsin z=z+\frac{1}{2}\cdot \frac{z^3}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{z^5}{5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot \frac{z^7}{7}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{z^{2n+1}}{2n+1};|z|\le 1$.

$\arctan z=z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{2n+1};|z|\le 1z\ne \mathrm{i},-\mathrm{i}$.

Pour développer en série les autres fonctions circulaires réciproques il suffit d'utiliser leurs relations Modèle:Supra : Modèle:Math, Modèle:MathModèle:Etc..

Un développement du carré de l'arc sinus est :

${\arcsin }^2(x)=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2x{)}^{2n}}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$.

Un autre développement de l'arc tangente, plus efficace numériquement que la série entière, a été obtenu par Euler :

$\arctan z=\frac{z}{1+z^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\prod _{k=1}^n\frac{2k{z}^2}{(2k+1)(1+z^2)}$.

On peut donner une variante du développement précédent :

$\arctan z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(n!{)}^2}{(2n+1)!}\frac{z^{2n+1}}{(1+z^2{)}^{n+1}}$.

Développement en fraction continue

On connaît deux développements de l'arc tangente en fraction continue généralisée, le premier obtenu par Euler et le second par Gauss (à l'aide des fonctions hypergéométriques) :

$\arctan (z)=\frac{z}{1+\frac{(1z{)}^2}{3-1z^2+\frac{(3z{)}^2}{5-3z^2+\frac{(5z{)}^2}{7-5z^2+\frac{(7z{)}^2}{9-7z^2+\ddots }}}}}=\frac{z}{1+\frac{(1z{)}^2}{3+\frac{(2z{)}^2}{5+\frac{(3z{)}^2}{7+\frac{(4z{)}^2}{9+\ddots }}}}}$

Le développement de Gauss est valable pour des nombres complexes, à l'exception des imaginaires purs de module supérieur ou égal à 1. Il est surtout efficace pour les nombres réels compris entre −1 et +1.

Primitives

Pour Modèle:Math réel ou complexe :

$\begin{array}{cc}\int \arcsin (z)\mathrm{d}z& =z\arcsin (z)+\sqrt{1-z^2}+C\\ \int \arccos (z)\mathrm{d}z& =z\arccos (z)-\sqrt{1-z^2}+C\\ \int \arctan (z)\mathrm{d}z& =z\arctan (z)-\frac{1}{2}\ln (1+z^2)+C\\ \int \mathrm{arccot}(z)\mathrm{d}z& =z\mathrm{arccot}(z)+\frac{1}{2}\ln (1+z^2)+C\\ \int \mathrm{arcsec}(z)\mathrm{d}z& =z\mathrm{arcsec}(z)-\ln \left[z(1+\sqrt{\frac{z^2-1}{z^2}})\right]+C\\ \int \mathrm{arccsc}(z)\mathrm{d}z& =z\mathrm{arccsc}(z)+\ln \left[z(1+\sqrt{\frac{z^2-1}{z^2}})\right]+C\end{array}$

Pour Modèle:Math réel et supérieur à 1 :

$\begin{array}{cc}\int \mathrm{arcsec}(x)\mathrm{d}x& =x\mathrm{arcsec}(x)-\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C\\ \int \mathrm{arccsc}(x)\mathrm{d}x& =x\mathrm{arccsc}(x)+\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C\end{array}$

Pour Modèle:Math réel et de valeur absolue supérieure à 1 :

$\begin{array}{cc}\int \mathrm{arcsec}(x)\mathrm{d}x& =x\mathrm{arcsec}(x)-\mathrm{sgn}(x)\ln \left(|x+\sqrt{x^2-1}|\right)+C\\ \int \mathrm{arccsc}(x)\mathrm{d}x& =x\mathrm{arccsc}(x)+\mathrm{sgn}(x)\ln \left(|x+\sqrt{x^2-1}|\right)+C\end{array}$

Dans les expressions ci-dessus la valeur absolue (|•|) est due au signe variable de l'arc sécante et de l'arc cosécante, et la fonction signe (sgn) aux valeurs absolues des dérivées de ces deux fonctions, ce qui conduit à des expressions différentes selon le signe de Modèle:Math. On peut simplifier ces formules en faisant appel aux fonctions hyperboliques réciproques :

$\begin{array}{cc}\int \mathrm{arcsec}(x)dx& =x\mathrm{arcsec}(x)-\mathrm{arcosh}(|x|)+C\\ \int \mathrm{arccsc}(x)dx& =x\mathrm{arccsc}(x)+\mathrm{arcosh}(|x|)+C\\ \end{array}$

Extension au plan complexe

Étant développables en série entière, les fonctions circulaires réciproques sont analytiques, c'est-à-dire que leur ensemble de définition (la droite des nombres réels) peut être étendu au plan complexe. Ces fonctions étant fondamentalement multivaluées, leurs extensions au plan complexe ont de multiples feuillets et points de branchement.

On peut ainsi définir l'arc tangente par :

$\arctan (z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}z\ne -\mathrm{i},+\mathrm{i}$.

La coupure entre le feuillet principal et les autres feuillets est constituée par les deux demi-droites portant les imaginaires purs de module supérieur ou égal à 1.

On définit les autres fonctions circulaires réciproques à l'aide des relations entre ces fonctions :

$\arcsin (z)=\arctan \left(\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}\right)z\ne -1,+1$.

$\arccos (z)=\frac{\pi }{2}-\arcsin (z)z\ne -1,+1$

$\mathrm{arccot}(z)=\frac{\pi }{2}-\arctan (z)z\ne -\mathrm{i},\mathrm{i}$

$\mathrm{arcsec}(z)=\arccos \left(\frac{1}{z}\right)z\ne -1,0,+1$

$\mathrm{arccsc}(z)=\arcsin \left(\frac{1}{z}\right)z\ne -1,0,+1$

La coupure de l'arc sinus est constituée par les deux demi-droites portant les réels de valeur absolue supérieure ou égale à 1. L'arc cosinus a la même coupure que l'arc sinus, et l'arc cotangente la même que l'arc tangente. L'arc sécante et l'arc cosécante ont pour coupure le segment réel Modèle:Math.

Formes logarithmiques

Les fonctions circulaires réciproques peuvent être exprimées sous la forme de logarithmes complexes :

$\begin{array}{ccc}\arcsin (z)& =-\mathrm{i}\ln (\mathrm{i}z+\sqrt{1-z^2})& =\mathrm{arccsc}\left(\frac{1}{z}\right)\\ \arccos (z)& =-\mathrm{i}\ln (z+\mathrm{i}\sqrt{1-z^2})=\frac{\pi }{2}+\mathrm{i}\ln (\mathrm{i}z+\sqrt{1-z^2})=\frac{\pi }{2}-\arcsin (z)& =\mathrm{arcsec}\left(\frac{1}{z}\right)\\ \arctan (z)& =\frac{1}{2}\mathrm{i}[\ln (1-\mathrm{i}z)-\ln (1+\mathrm{i}z)]& =\mathrm{arccot}\left(\frac{1}{z}\right)\\ \mathrm{arccot}(z)& =\frac{1}{2}\mathrm{i}[\ln (1-\frac{\mathrm{i}}{z})-\ln (1+\frac{\mathrm{i}}{z})]& =\arctan \left(\frac{1}{z}\right)\\ \mathrm{arcsec}(z)& =-\mathrm{i}\ln (\sqrt{\frac{1}{z^2}-1}+\frac{1}{z})=\mathrm{i}\ln (\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}+\frac{\mathrm{i}}{z})+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arccsc}(z)& =\arccos \left(\frac{1}{z}\right)\\ \mathrm{arccsc}(z)& =-\mathrm{i}\ln (\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}+\frac{\mathrm{i}}{z})& =\arcsin \left(\frac{1}{z}\right)\end{array}$

Représentation des fonctions circulaires réciproques par coloration de régions dans le plan complexe

Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math

Applications

Triangle rectangle

Triangle trigonométrique : relations entre un angle et les côtés du triangle.

Les fonctions circulaires réciproques permettent d'exprimer un angle d'un triangle rectangle en fonction de deux des côtés :

$\begin{array}{cc}\theta & =\arcsin \left(\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\right)=\arccos \left(\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right)\\ & =\arctan \left(\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\right)=\mathrm{arccot}\left(\frac{\text{côté adjacent}}{\text{côté opposé}}\right)\\ & =\mathrm{arcsec}\left(\frac{\text{hypoténuse}}{\text{côté adjacent}}\right)=\mathrm{arccsc}\left(\frac{\text{hypoténuse}}{\text{côté opposé}}\right)\end{array}$

ou, avec les notations de la figure ci-contre :

$\theta =\arcsin \left(\frac{a}{c}\right)=\arccos \left(\frac{b}{c}\right)=\arctan \left(\frac{a}{b}\right)=\mathrm{arccot}\left(\frac{b}{a}\right)=\mathrm{arcsec}\left(\frac{c}{b}\right)=\mathrm{arccsc}\left(\frac{c}{a}\right)$.

Arc tangente à deux arguments

L'arc tangente à deux arguments, de symbole usuel atan2, est une variante de l'arc tangente initialement introduite dans les langages informatiques (Fortran, notamment). Pour Modèle:Mvar et Modèle:Mvar réels et non tous les deux nuls, Modèle:Math est, dans un repère orthonormé, l'angle polaire du point d'abscisse Modèle:Mvar et d'ordonnée Modèle:Mvar. Autrement dit, c'est l'argument du nombre complexe Modèle:Math. L'intérêt de cette fonction est double :

• le domaine image d'atan2 est Modèle:Math alors que celui de l'arc tangente est Modèle:Math : Modèle:Math et Modèle:Math diffèrent de Modèle:Math alors que $\arctan \left(\frac{-y}{-x}\right)=\arctan \left(\frac{y}{x}\right)$. Plus généralement, atan2 donne l'angle polaire en un seul calcul alors qu'aucune des fonctions circulaires réciproques ne le fait ;
• quand Modèle:Math la fonction atan2 prend la valeur Modèle:Sfrac ou –Modèle:Sfrac (selon le signe de Modèle:Mvar) alors que la plupart des langages informatiques ne permettent pas de coder un argument infini. Plus généralement, Modèle:Math se comporte bien numériquement quand Modèle:Math alors que ce n'est pas le cas de Modèle:Math.

Calculs de primitives

Primitive d'une fonction rationnelle

Pour intégrer une fonction rationnelle Modèle:Math (où Modèle:Math est une variable réelle) on la décompose en éléments simples :

$R(x)=T+F_1+\dots +F_p+G_1+\dots +G_q\mathrm{e}\mathrm{t}\{\begin{array}{cc}T& \text{est un polynôme de }x\\ F_i& =\frac{a_{i,1}}{x-z_i}+\frac{a_{i,2}}{(x-z_i{)}^2}+\dots +\frac{a_{i,n_i}}{(x-z_i{)}^{n_i}}\\ G_j& =\frac{b_{j,1}x+c_{j,1}}{x^2-{\beta }_{j}x+{\gamma }_j}+\frac{b_{j,2}x+c_{j,2}}{(x^2-{\beta }_{j}x+{\gamma }_j{)}^2}+\dots +\frac{b_{j,m_j}x+c_{j,m_j}}{(x^2-{\beta }_{j}x+{\gamma }_j{)}^{m_j}}\end{array}$

où les trinômes Modèle:Math n'ont pas de racines réelles (discriminant négatif : Modèle:Math). Ensuite :

• le terme Modèle:Mvar (partie entière) s'intègre directement en donnant un autre polynôme ;
• les termes Modèle:Mvar (éléments simples de première espèce) s'intègrent directement (le résultat mêle fonctions rationnelles et logarithmes) ;
• par un changement de variable simple (linéaire) Modèle:Math, chaque terme de seconde espèce $\frac{b_{j,m}x+c_{j,m}}{(x^2-{\beta }_{j}x+{\gamma }_j{)}^m}$ se ramène à l'intégration de $\frac{u}{(u^2+1{)}^m}$ et/ou de $\frac{1}{(u^2+1{)}^m}$ :
  • $\frac{u}{(u^2+1{)}^m}$ s'intègre directement (le résultat est une fonction rationnelle ou un logarithme),
  • l'intégration de $\frac{1}{(u^2+1{)}^m}$ implique l'arc tangente :

    $\int \frac{1}{u^2+1}\mathrm{d}u=\arctan (u)+C$,

    $\int \frac{1}{(u^2+1{)}^2}\mathrm{d}u=\frac{1}{2}[\frac{u}{u^2+1}+\arctan (u)]+C$,

    $\int \frac{1}{(u^2+1{)}^3}\mathrm{d}u=\frac{1}{8}[\frac{u(3u^2+5)}{(u^2+1{)}^2}+3\arctan (u)]+C$Modèle:Etc.

Primitive d'une fonction où interviennent des radicaux

• Pour intégrer une fonction comportant le radical Modèle:Racine, l'une des pistes consiste à prendre pour nouvelle variable Modèle:Math :

  Modèle:Math, donc $\sqrt{1-x^2}=\cos (\theta )$ et $\mathrm{d}x=\cos (\theta )\mathrm{d}\theta$ : le radical a disparu.

• Pour intégrer une fonction comportant le radical Modèle:Racine, l'une des pistes consiste à prendre pour nouvelle variable Modèle:Math :

  Modèle:Math, donc $\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{\cos (\theta )}$ et $\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}\theta }{{\cos }^2(\theta )}$ : le radical a disparu.

Plus généralement :

• pour se débarrasser du radical $\sqrt{a^2-b^2{x}^2}$ on peut poser $\theta =\arcsin \left(\frac{b}{a}x\right)$ ;
• pour se débarrasser du radical $\sqrt{a^2+b^2{x}^2}$ on peut poser $\theta =\arctan \left(\frac{b}{a}x\right)$.

Voir aussi

Articles connexes

• Fonction trigonométrique
• Identité trigonométrique
• Fonction hyperbolique