Fonction hyperbolique

Une demi-droite passant par l'origine intersecte l'hyperbole d'équation Modèle:Math au point Modèle:Math, où Modèle:Mvar est le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, l'hyperbole et l'axe des Modèle:Mvar. Voir aussi une version animée de ce schéma, avec une comparaison avec les fonctions trigonométriques.

En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les noms « sinus », « cosinus » et « tangente » proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (dites « circulaires » car en relation avec le cercle unité Modèle:Math) et le terme « hyperbolique » provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation Modèle:Math.

Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles mais aussi en géométrie hyperbolique.

Histoire

Les fonctions hyperboliques ont été inventées par le jésuite Vincenzo Riccati dans les années 1760 alors qu'il cherchait, avec son collègue Saladini, à calculer l'aire sous l'hyperbole d'équation Modèle:Nobr. La méthode géométrique qu'il employa alors était très similaire à celle que l'on peut utiliser pour calculer l'aire d'un cercle d'équation Modèle:Math. Le calcul de l'aire du cercle fait intervenir les fonctions trigonométriques classiques que Riccati nommait cosinus et sinus circulaires. Par analogie, il appela alors les fonctions qu'il venait de créer cosinus et sinus hyperboliques. Ce fut un choix heureux, car cette ressemblance ne s'arrête pas à la méthode de calcul d'aire mais aussi à toutes les formules trigonométriques. Cependant, pourtant au fait du travail de son contemporain Euler, il n'utilisa pas la fonction exponentielle pour les définir mais seulement des considérations géométriques. L'autre grand mathématicien ayant étudié les fonctions hyperboliques est Jean-Henri Lambert, qui en fit une étude complète en 1770. Cette quasi-simultanéité fait que l'on attribue parfois à Lambert la paternité des fonctions hyperboliques, bien que les écrits de Riccati soient antérieurs de quelques années.

Définitions

Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques ou fonctions circulaires. Ce sont les fonctions :

Sinus hyperbolique

Sinus hyperbolique

Définie comme étant la partie impaire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par :

$\sinh (x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$

La fonction Modèle:Math — ou Modèle:Math — est une bijection de [[Classe de régularité|classe Modèle:Math]] de ℝ sur ℝ strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est le cosinus hyperbolique. Son application réciproque est l'argument sinus hyperbolique.

Cosinus hyperbolique

Cosinus hyperbolique

Modèle:Article détaillé Définie comme étant la partie paire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par :

$\cosh (x)=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$

La fonction Modèle:Math — ou Modèle:Math — est une application de ℝ dans Modèle:Math strictement croissante sur ℝModèle:Exp, et paire. La fonction Modèle:Math est de classe Modèle:Math sur ℝ et sa dérivée est le sinus hyperbolique. Sa restriction à ℝModèle:Exp est une bijection à valeurs dans Modèle:Math dont l'application réciproque est l'argument cosinus hyperbolique.

Tangente hyperbolique

Tangente hyperbolique

Définie par :

$\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}-1}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}=1-\frac{2}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}$

La fonction Modèle:Math — ou Modèle:Math — est une bijection de classe Modèle:Math de ℝ sur Modèle:Math strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est $\frac{1}{{\cosh }^2}=1-{\tanh }^2$. Son application réciproque est l'argument tangente hyperbolique.

Cotangente hyperbolique

Cotangente hyperbolique

Définie par :

$\coth (x)=\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}+1}{{\mathrm{e}}^{2x}-1}$

Modèle:Math est une bijection de classe Modèle:Math de ℝ* dans Modèle:Math. Sa dérivée est $\frac{-1}{{\sinh }^2}=1-{\coth }^2$. Son application réciproque est l'argument cotangente hyperbolique.

Sécante hyperbolique

Sécante hyperbolique

Définie par :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{sech}(x)=\frac{1}{\cosh (x)}$

Cosécante hyperbolique

Cosécante hyperbolique

Définie par :

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*},\mathrm{csch}(x)=\frac{1}{\sinh (x)}$

Tableau de variations

Les fonctions Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont impaires et la fonction Modèle:Math est paire, on peut donc réduire leur domaine d'étude à Modèle:Math.

Modèle:Mvar	0		Modèle:Math
Modèle:Math	1	$\nearrow$	Modèle:Math
Modèle:Math	0	$\nearrow$	Modèle:Math
Modèle:Math	0	$\nearrow$	+1
coth x	Modèle:Math	$\searrow$	+1

Propriétés

Par construction, Modèle:Retrait

On en déduit la formule suivante :

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1.$

De même que les points Modèle:Math décrivent un cercle lorsque Modèle:Mvar parcourt ℝ, les points Modèle:Math décrivent une branche d'hyperbole.

Le paramètre Modèle:Mvar ne peut pas être interprété comme un angle, ni comme une longueur d'arc ; les fonctions hyperboliques sont périodiques, mais de période imaginaire pure.

La fonction Modèle:Math admet 1 pour minimum, en 0.

La fonction Modèle:Math est impaire et ainsi Modèle:Math.

Les fonctions hyperboliques satisfont à des relations très ressemblantes aux identités trigonométriques. En fait, la règle d'Osborn dit que l'on peut convertir n'importe quelle identité trigonométrique en une identité hyperbolique en la développant complètement à l'aide de puissances entières de sinus et cosinus, changeant Modèle:Math en Modèle:Math et Modèle:Math en Modèle:Math, et remplaçant le signe de chaque terme qui contient un produit de deux sinus en son opposé.

Cela nous permet d'obtenir par exemple, les formules d'addition et de soustraction :

$\sinh (x+y)=\sinh (x)\cosh (y)+\cosh (x)\sinh (y)$

$\cosh (x+y)=\cosh (x)\cosh (y)+\sinh (x)\sinh (y)$

$\sinh (x-y)=\sinh (x)\cosh (y)-\cosh (x)\sinh (y)$

$\cosh (x-y)=\cosh (x)\cosh (y)-\sinh (x)\sinh (y)$

et des « formules d'angle moitié » (la deuxième étant valide si Modèle:Mvar est positif ou nul) :

$\cosh \left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{\cosh (x)+1}{2}}$

$\sinh \left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{\cosh (x)-1}{2}}$

De ces expressions on déduit les formules suivantes relatives à la tangente hyperbolique : Modèle:Retrait

On a de même :

$\sinh (2x)=2\cosh (x)\sinh (x),$

$\cosh (2x)={\cosh }^2(x)+{\sinh }^2(x)=1+2{\sinh }^2(x)=2{\cosh }^2(x)-1,$

$\tanh (2x)=\frac{2\tanh (x)}{{\tanh }^2(x)+1}.$

La fonction cosinus hyperbolique est convexe. Elle intervient dans la définition de la chaînette, laquelle correspond à la forme que prend un câble suspendu à ses extrémités et soumis à son propre poids.

Puisque la fonction exponentielle peut être prolongée à l'ensemble des nombres complexes, nous pouvons aussi étendre les définitions des fonctions hyperboliques à l'ensemble des nombres complexes. Les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique sont alors holomorphes et même entières.

Applications réciproques

Argument sinus hyperbolique

Argument sinus hyperbolique.

Modèle:Article détaillé Modèle:Math — ou Modèle:Math — est l'application réciproque de Modèle:Math. C'est une bijection de ℝ sur ℝ, impaire et strictement croissante. La fonction Modèle:Math est dérivable sur ℝ et sa dérivée est $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$. La fonction Modèle:Math admet la forme logarithmique suivante :

$\mathrm{arsinh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$.

Argument cosinus hyperbolique

Argument cosinus hyperbolique.

Modèle:Article détaillé Modèle:Math — ou Modèle:Math — est l'application réciproque de la restriction de Modèle:Math à ℝModèle:Exp. C'est une bijection de Modèle:Math sur ℝModèle:Exp, strictement croissante. La fonction Modèle:Math est dérivable sur Modèle:Math et sa dérivée est $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$. La fonction Modèle:Math admet une forme logarithmique :

$\mathrm{arcosh}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$.

Argument tangente hyperbolique

Argument tangente hyperbolique.

Modèle:Article détaillé Modèle:Math — ou Modèle:Math — est l'application réciproque de Modèle:Math. C'est une bijection de Modèle:Math sur ℝ, impaire, strictement croissante. La fonction Modèle:Math est dérivable sur Modèle:Math et sa dérivée est $x\mapsto \frac{1}{1-x^2}$. La fonction Modèle:Math admet une forme logarithmique :

$\mathrm{artanh}x=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.

Argument cotangente hyperbolique

Argument cotangente hyperbolique

Modèle:Math — ou Modèle:Math — est l'application réciproque de Modèle:Math. C'est une bijection de Modèle:Math sur ℝ*. La fonction Modèle:Math est dérivable sur Modèle:Math et sa dérivée est $x\mapsto \frac{1}{1-x^2}$. La fonction Modèle:Math admet une forme logarithmique :

$\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$.

Argument sécante hyperbolique

Modèle:Math — ou Modèle:Math est l'application réciproque de sech.

$\mathrm{\forall }x\in ]0,1]\mathrm{arsech}x=\ln (\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1})=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$.

Argument cosécante hyperbolique

Modèle:Math — ou Modèle:Math est l'application réciproque de csch.

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*}\mathrm{arcsch}x=\ln (\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1})=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$.

Relations entre fonctions hyperboliques et fonctions circulaires

Des formules d'Euler, on déduit immédiatement :

$\cos (x)=\cosh (\mathrm{i}x)$

$\mathrm{i}\sin (x)=\sinh (\mathrm{i}x)$

ou encore :

$\cosh (x)=\cos (\mathrm{i}x)$

$\sinh (x)=-\mathrm{i}\sin (\mathrm{i}x).$

D'autres relations entre fonctions hyperboliques et circulaires sont données par la fonction de Gudermann ou gudermannien. Elles ont été explicitées par le mathématicien Christoph Gudermann. Le gudermannien Modèle:Math de Modèle:Math peut être défini par Modèle:Math. On en déduit de nombreuses relations entre les fonctions trigonométriques de Modèle:Math et les fonctions hyperboliques de Modèle:Math. Par exemple :

$\frac{1}{\cosh (t)}=\cos \theta$

$\tanh (t)=\sin \theta .$

$dt=\frac{d\theta }{\cos \theta }$

Utilisation en géométrie hyperbolique

Modèle:... Les formules de la trigonométrie sphérique restent valables en géométrie hyperbolique en remplaçant partout cos par cosh, sin par sinh et tan par tanh, et en n'oubliant pas de changer les signes correspondant à des produits d'un nombre pair de fonctions sin ou tan.

Relations lorsque l'argument est un imaginaire pur

On trouve ici un formulaire dans lequel on trouve les formules lorsque l'argument est un imaginaire pur, par exemple $\sinh (\mathrm{i}x)$ ou $\mathrm{arsinh}(\mathrm{i}x)$.

Voir aussi

Articles connexes

• Primitives de fonctions hyperboliques réciproques
• Loi sécante hyperbolique
• Triangle hyperbolique