Primitives de fonctions hyperboliques réciproques

Cet article donne les primitives des fonctions réciproques des fonctions hyperboliques. Elles s'obtiennent dans la plupart des cas par intégration par parties.

$\int \mathrm{arsinh}(x)\mathrm{d}x=x\mathrm{arsinh}(x)-\sqrt{x^2+1}+C$

$\int \mathrm{arcosh}(x)\mathrm{d}x=x\mathrm{arcosh}(x)-\sqrt{x^2-1}+C$

$\int \mathrm{artanh}(x)\mathrm{d}x=x\mathrm{artanh}(x)+\frac{1}{2}\ln (1-x^2)+C$

$\int \mathrm{arcoth}(x)\mathrm{d}x=x\mathrm{arcoth}(x)+\frac{1}{2}\ln (x^2-1)+C$

$\int \mathrm{arsech}(x)\mathrm{d}x=x\mathrm{arsech}(x)-\arctan \left(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right)+C$

$\int \mathrm{arcsch}(x)\mathrm{d}x=x\mathrm{arcsch}(x)+\ln \left(x(1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})\right)+C$