Formule de trigonométrie

En mathématiques, une formule de trigonométrie est une relation faisant intervenir des fonctions trigonométriques, vérifiée pour toutes les valeurs possibles des variables intervenant dans la relation. Ces formules peuvent servir à simplifier une expression comportant des fonctions trigonométriques ou à la transformer (par exemple pour en calculer une primitive). Elles constituent donc une « boîte à outils » utile pour la résolution de problèmes.

Les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement ou analytiquement. Elles servent beaucoup en intégration, pour intégrer des fonctions « non trigonométriques » : un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.

Notation : si Modèle:Math est une fonction trigonométrique, Modèle:Math désigne la fonction qui à tout réel Modèle:Formule associe le carré de Modèle:Formule. Par exemple : Modèle:Formule.

Relations entre fonctions trigonométriques

Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement.

Les relations entre fonctions trigonométriques résultent d'une part des définitions

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta },\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta },\dots$

et d'autre part de l'application du théorème de Pythagore, notamment :

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1{\tan }^2\theta +1=\frac{1}{{\cos }^2\theta },{\cot }^2\theta +1=\frac{1}{{\sin }^2\theta }.$

Relations entre fonctions trigonométriques dans le premier quadrant ($0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}$), éventuellement non valables en 0 ou $\frac{\pi }{2}$

	cos	sin	tan	cot	sec	csc
cos		$\cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }$	$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}$	$\cos \theta =\frac{\cot \theta }{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}$	$\cos \theta =\frac{1}{\sec \theta }$	$\cos \theta =\frac{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}{\csc \theta }$
sin	$\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$		$\sin \theta =\frac{\tan \theta }{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}$	$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}$	$\sin \theta =\frac{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}{\sec \theta }$	$\sin \theta =\frac{1}{\csc \theta }$
tan	$\tan \theta =\frac{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}{\cos \theta }$	$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}$		$\tan \theta =\frac{1}{\cot \theta }$	$\tan \theta =\sqrt{{\sec }^2\theta -1}$	$\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}$
cot	$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}$	$\cot \theta =\frac{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}{\sin \theta }$	$\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }$		$\cot \theta =\frac{1}{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}$	$\cot \theta =\sqrt{{\csc }^2\theta -1}$
sec	$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$	$\sec \theta =\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}$	$\sec \theta =\sqrt{1+{\tan }^2\theta }$	$\sec \theta =\frac{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}{\cot \theta }$		$\sec \theta =\frac{\csc \theta }{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}$
csc	$\csc \theta =\frac{1}{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}$	$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$	$\csc \theta =\frac{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}{\tan \theta }$	$\csc \theta =\sqrt{1+{\cot }^2\theta }$	$\csc \theta =\frac{\sec \theta }{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}$

Propriétés liées au cercle trigonométrique

Symétries, parité

Parité - Réflexion d'axe (Modèle:Formule)	Réflexion d'axe (Modèle:Formule)	Réflexion d'axe (Modèle:Formule)
$\begin{array}{cc}\sin (-\theta )& =-\sin \theta \\ \cos (-\theta )& =+\cos \theta \\ \tan (-\theta )& =-\tan \theta \\ \cot (-\theta )& =-\cot \theta \end{array}$	$\begin{array}{cc}\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )& =+\cos \theta \\ \cos (\frac{\pi }{2}-\theta )& =+\sin \theta \\ \tan (\frac{\pi }{2}-\theta )& =+\cot \theta \\ \cot (\frac{\pi }{2}-\theta )& =+\tan \theta \end{array}$	$\begin{array}{cc}\sin (\pi -\theta )& =+\sin \theta \\ \cos (\pi -\theta )& =-\cos \theta \\ \tan (\pi -\theta )& =-\tan \theta \\ \cot (\pi -\theta )& =-\cot \theta \\ \end{array}$

Note : Toutes ces formules sont également utilisables pour des ajouts d'angles, il suffit pour cela de prendre l'opposé : par exemple,$\sin (\frac{\pi }{2}+\theta )=\sin (\frac{\pi }{2}-(-\theta ))=\cos (-\theta )$. Il suffit ensuite d'appliquer la formule de simplification correspondante de la première colonne.

Périodicité, décalages

Décalage de Modèle:Formule	Décalage de Modèle:Formule (Période de tan et cot)	Décalage de Modèle:Formule (Période de sin et cos)
$\begin{array}{cc}\sin (\theta +\frac{\pi }{2})& =+\cos \theta \\ \cos (\theta +\frac{\pi }{2})& =-\sin \theta \\ \tan (\theta +\frac{\pi }{2})& =-\cot \theta \\ \cot (\theta +\frac{\pi }{2})& =-\tan \theta \end{array}$	$\begin{array}{cc}\sin (\theta +\pi )& =-\sin \theta \\ \cos (\theta +\pi )& =-\cos \theta \\ \tan (\theta +\pi )& =+\tan \theta \\ \cot (\theta +\pi )& =+\cot \theta \\ \end{array}$	$\begin{array}{cc}\sin (\theta +2\pi )& =+\sin \theta \\ \cos (\theta +2\pi )& =+\cos \theta \\ \tan (\theta +2\pi )& =+\tan \theta \\ \cot (\theta +2\pi )& =+\cot \theta \end{array}$

Équations trigonométriques

Certaines des relations ci-dessus sont renforcées par les équivalences suivantes :

$\cos a=\cos b\iff a=b+2k\pi \text{ou}a=-b+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\sin a=\sin b\iff a=b+2k\pi \text{ou}a=\pi -b+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\tan a=\tan b\iff a=b+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

Formules d'addition et de différence

Les deux formules principales sont les formules d'addition pour le cosinus et le sinusModèle:, :

$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

En remplaçant Modèle:Math par son opposé, on obtient aussi les formules de différence :

$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$

Démonstration géométrique des formules d'addition de Modèle:Math et Modèle:Math

Le moyen le plus rapide pour les démontrer est, à partir de la définition analytique du cosinus et du sinus, d'utiliser les formules d'Euler.

Il existe de nombreuses autres démonstrations possibles, utilisant les propriétés d'une corde dans un cercle, la relation entre cosinus d'un angle et produit scalaire (en évaluant de deux façons différentes le produit scalaire des vecteurs Modèle:Math et Modèle:Math, la propriété du changement de repère ou encore la démonstration matricielle ci-dessous.

On en déduit les formules d'addition et de différence pour la tangente et la cotangente. Par exemple pour l'addition :

$\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\mathrm{e}\mathrm{t}\cot (a+b)=\frac{\cot a\cot b-1}{\cot a+\cot b}$.

Exemple

$\tan (x+\pi /4)=\frac{1+\tan x}{1-\tan x}$.

Plus généralement, la tangente d'une somme de Modèle:Mvar angles (resp. la cotangente) s'exprime en fonction des tangentes (resp. des cotangentes) de ces angles :

$\tan ({\theta }_1+\dots +{\theta }_n)=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_3+{\sigma }_5-\dots }{1-{\sigma }_2+{\sigma }_4-\dots }(\tan {\theta }_1,\dots ,\tan {\theta }_n)\mathrm{e}\mathrm{t}\cot ({\theta }_1+\dots +{\theta }_n)=\frac{{\sigma }_n-{\sigma }_{n-2}+{\sigma }_{n-4}-\dots }{{\sigma }_{n-1}-{\sigma }_{n-3}+{\sigma }_{n-5}-\dots }(\cot {\theta }_1,\dots ,\cot {\theta }_n)$

où les Modèle:Math (pour Modèle:Math) sont les polynômes symétriques élémentaires. Pour Modèle:Math impair, il s'agit de la même fraction rationnelle ; par exemple pour Modèle:Math :

$\tan (a+b+c)=F(\tan a,\tan b,\tan c)\mathrm{e}\mathrm{t}\cot (a+b+c)=F(\cot a,\cot b,\cot c)\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}F(u,v,w)=\frac{u+v+w-uvw}{1-(uv+uw+vw)}.$

Une autre conséquence intéressante de la formule d'addition pour Modèle:Math est qu'elle permet de ramener la combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus à un sinus : Modèle:Retrait où Modèle:Retrait

Formules de duplication et d'angle moitié

Formules de l'angle double

Appelées aussi « formules d'angle double », elles peuvent être obtenues, pour les deux premières, en remplaçant Modèle:Math et Modèle:Math par Modèle:Math dans les formules d'addition ou en utilisant la formule de Moivre avec Modèle:Math = 2. Les deux suivantes se déduisent de l'identité [[#Relations entre fonctions trigonométriques|Modèle:Math]].

$\begin{array}{cc}\sin 2x& =2\sin x\cos x,\\ \cos 2x& ={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x,\\ \tan 2x& =\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}=\frac{2\cot x}{{\cot }^{2}x-1}=\frac{2}{\cot x-\tan x}.\end{array}$

Formules de réduction du carré

Ces formulesModèle:, permettent d'écrire Modèle:Math et Modèle:Math, donc aussi Modèle:Math, en fonction du cosinus de l'angle double :

${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos (2x)}{2},{\sin }^{2}x=\frac{1-\cos (2x)}{2}\mathrm{e}\mathrm{t}{\tan }^{2}x=\frac{1-\cos (2x)}{1+\cos (2x)}.$

Formules de l'angle moitié

$|\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)|=\sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}},|\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)|=\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$

$\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$

Formules impliquant la « tangente de l'arc moitié »

Modèle:Article détaillé Si l'on pose, pour Modèle:Math,

$t=\tan (x/2)$,

on a

$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\mathrm{e}\mathrm{t}\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}$ $\tan x=\frac{2t}{1-t^2}.$

Dans le cas de changement de variable en intégration, on ajoutera la relation  : Modèle:Retrait

Ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble des points rationnels du cercle unité.

Formules de Simpson

Les égalités suivantes, du nom de Thomas Simpson, ont servi historiquement aux calculs en goniométrie.

Transformation de produits en sommes, ou linéarisation

$\cos a\cos b=\frac{\cos (a+b)+\cos (a-b)}{2}$

$\sin a\sin b=\frac{\cos (a-b)-\cos (a+b)}{2}$

$\sin a\cos b=\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{2}$

$\cos a\sin b=\frac{\sin (a+b)-\sin (a-b)}{2}$ (équivalente à la précédente par interversion de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar).

Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les formules d'addition et de différence.

Transformation de sommes en produits, ou antilinéarisation

$\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$

$\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$

$\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$

$\sin p-\sin q=2\cos \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$ (équivalente à la précédente en remplaçant Modèle:Mvar par Modèle:Mvar).

Il suffit de remplacer Modèle:Math par Modèle:Sfrac et Modèle:Math par Modèle:Sfrac dans les formules de transformation de produit en somme. On en déduit une généralisation des formules de la tangente de l'angle moitié :

$\tan \frac{p+q}{2}=\frac{\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}=-\frac{\cos p-\cos q}{\sin p-\sin q}$.

Par ailleurs, on déduit directement de la formule d'addition pour Modèle:Math :

$\tan p+\tan q=\frac{\sin (p+q)}{\cos p\cos q}$.

Formules d'Euler

Modèle:Article détaillé

Modèle:Voir aussi $\cos x=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2}=\cosh \mathrm{i}x$

$\sin x=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}=-\mathrm{i}\sinh \mathrm{i}x$

où Modèle:Math est l'unité imaginaire. On en déduit que

$\tan x=\frac{\mathrm{i}(1-{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}x})}{1+{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}x}}=-\mathrm{i}\tanh \mathrm{i}x$

Formule de Moivre et formules d'angle multiple

La formule de Moivre s'écrit :

$\cos (nx)+\mathrm{i}\sin (nx)=(\cos x+\mathrm{i}\sin x{)}^n$.

Par la formule du binôme, elle équivaut à :

$\cos (nx)=\sum _{0⩽k⩽\frac{n}{2}}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}){\cos }^{n-2k}x{\sin }^{2k}x\text{et}\sin (nx)=\sum _{0⩽k⩽\frac{n-1}{2}}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k+1}){\cos }^{n-2k-1}x{\sin }^{2k+1}x$.

Compte tenu de Modèle:Math, si l'on pose

$T_n=\sum _{0⩽k⩽\frac{n}{2}}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k})X^{n-2k}(1-X^2{)}^k\text{et}{U}_n=\sum _{0⩽k⩽\frac{n-1}{2}}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k+1})X^{n-2k-1}(1-X^2{)}^k$,

on a Modèle:Math et Modèle:Math.

Le polynôme Modèle:Mvar (resp. Modèle:Mvar) est le Modèle:Mvar-ième polynôme de Tchebychev de première (resp. seconde) espèce.

Par exemple

$\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x,\sin 3x=\sin x(4{\cos }^{2}x-1)=-4{\sin }^{3}x+3\sin x$.

La formule de Moivre permet aussi d'exprimer Modèle:Math en fonction de Modèle:Math par la relation

$\tan nx=\frac{\text{Im}(1+\mathrm{i}\tan x{)}^n}{\text{Re}(1+\mathrm{i}\tan x{)}^n}$.

Par exemple

$\tan 3x=\frac{{\tan }^{3}x-3\tan x}{3{\tan }^{2}x-1}$.

Linéarisation

La linéarisation d'une expression Modèle:Math a pour but de l'exprimer comme combinaison linéaire de divers Modèle:Math (si q est pair) ou Modèle:Math (si q est impair) — par exemple pour en calculer une primitive. On peut utiliser soit les formules de transformation de produits en sommes ci-dessus, soit les formules d'Euler : Modèle:Retrait

Il suffit ensuite de

• développer chacun des deux facteurs grâce à la formule du binôme de Newton,
• développer le produit des deux sommes obtenues (par distributivité),
• simplifier les termes en utilisant queModèle:Retrait
• puis les regrouper, sachant que Modèle:Retrait

Si l'un des deux exposants p ou q est nul, en appelant « degré » la valeur de l'autre, on a :

Calcul de sommes partielles de séries trigonométriques à coefficients constants

Les sommes

$C_n=\sum _{k=0}^n\cos (k\theta +\phi )$

et

$S_n=\sum _{k=0}^n\sin (k\theta +\phi )$

ont les expressions closes suivantes, pour

$\theta \ne 0mod2\pi$

 :

$C_n=\frac{\sin ((n+1)\frac{\theta }{2})}{\sin \frac{\theta }{2}}\cos (n\frac{\theta }{2}+\phi ),S_n=\frac{\sin ((n+1)\frac{\theta }{2})}{\sin \frac{\theta }{2}}\sin (n\frac{\theta }{2}+\phi )$

.

On démontre ces formules en remarquant que $C_n+i{S}_n={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }\sum _{k=0}^n({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }{)}^k$ et en utilisant les sommes de suites géométriques, ou en multipliant par $\sin \frac{\theta }{2}$ et en linéarisant.

On en déduit que $\frac{S_n}{C_n}=\tan (n\frac{\theta }{2}+\phi )$.

Pour $\theta =0mod2\pi$, $C_n=(n+1)\cos \phi ,S_n=(n+1)\sin \phi$.

Ces formules permettent d'exprimer le noyau de Dirichlet Modèle:Mvar , fonction définie par :

pour tout réel Modèle:Mvar, $D_n(x)=1+2\cos (x)+2\cos (2x)+2\cos (3x)+\cdots +2\cos (nx)=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin (x/2)}$

Le produit de convolution de n'importe quelle fonction de carré intégrable et de période Modèle:Math avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d'ordre Modèle:Mvar de sa série de Fourier.

Fonctions trigonométriques réciproques

Modèle:Article détaillé Ce sont les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente.

$y=\arcsin x\iff x=\sin y\text{avec}y\in [\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

$y=\arccos x\iff x=\cos y\text{avec}y\in [0,\pi ]$

$y=\arctan x\iff x=\tan y\text{avec}y\in ]\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$

Si $x>0$ alors

$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$.

Si $x<0$ alors

$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}$.

On a également l'identité suivante :

$\arctan x+\arctan y=\arctan \frac{x+y}{1-xy}+k\pi$

où

$k=0\text{si}xy<1$

$k=1\text{si}xy>1\text{et}x>0$

$k=-1\text{si}xy>1\text{et}x<0$.

Beaucoup d'identités similaires aux suivantes peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore.

Relations entre fonctions trigonométriques réciproques

	arcsin	arccos	arctan	arccot
arcsin		$\arcsin x=\frac{\pi }{2}-\arccos x$	$\arcsin x=\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x=\mathrm{arccot}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
arccos	$\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x$		$\arccos x=\{\begin{array}{c}\pi +\arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\text{si }x<0\\ \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\text{si }x>0\end{array}$	$\arccos x=\mathrm{arccot}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
arctan	$\arctan x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\arctan x=\{\begin{array}{c}-\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\text{si }x<0\\ +\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\text{si }x>0\end{array}$		$\arctan x=\{\begin{array}{c}\pi +\mathrm{arccot}\frac{1}{x},\text{si }x<0\\ \mathrm{arccot}\frac{1}{x},\text{si }x>0\end{array}$
arccot	$\mathrm{arccot}x=\{\begin{array}{c}\pi -\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\text{si }x<0\\ \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\text{si }x>0\end{array}$	$\mathrm{arccot}x=\arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\mathrm{arccot}x=\{\begin{array}{c}\pi +\arctan \frac{1}{x},\text{si }x<0\\ \arctan \frac{1}{x},\text{si }x>0\end{array}$

Relations de composition

	arcsin	arccos	arctan	arccot
sin		$\sin \arccos x=\sqrt{1-x^2}$	$\sin \arctan x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\sin \mathrm{arccot}x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
cos	$\cos \arcsin x=\sqrt{1-x^2}$		$\cos \arctan x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cos \mathrm{arccot}x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
tan	$\tan \arcsin x=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$	$\tan \arccos x=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$		$\tan \mathrm{arccot}x=\frac{1}{x}$
cot	$\cot \arcsin x=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$	$\cot \arccos x=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$	$\cot \arctan x=\frac{1}{x}$

Propriétés métriques dans un triangle quelconque

Théorème d'Al-Kashi ou loi des cosinus

Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

Modèle:Loupe Soit Modèle:Math un triangle, dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math pour les mesures des angles et, d'autre part, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles (voir figure ci-contre). Alors on a :

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma .$

Formule des sinus

Modèle:Voir En notant de plus Modèle:Math l'aire du triangle et Modèle:Math le rayon de son cercle circonscrit (voir figure ci-contre), on a :

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{abc}{2S}=2R.$

D'autre part, Modèle:Math est le produit du demi-périmètre Modèle:Math = Modèle:Sfrac par le rayon Modèle:Math du cercle inscrit.

Formule des différences des côtés

$\frac{a-b}{c}=\frac{\sin \frac{\alpha -\beta }{2}}{\cos \frac{\gamma }{2}}\mathrm{e}\mathrm{t}\frac{a+b}{c}=\frac{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}{\sin \frac{\gamma }{2}}$.

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \frac{\alpha -\beta }{2}}{\tan \frac{\alpha +\beta }{2}}$.

$\cot \frac{\alpha }{2}=\frac{p-a}{r}$.

Relations entre les angles

En utilisant le fait que $\alpha +\beta +\gamma =\pi$ on obtient de nombreuses relations trigonométriques, dont par exemple :

$\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$

$\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

Identités sans variable

• Richard Feynman s'est rappelé toute sa vie cette curieuse identité, qu'il appelait loi de Morrie :

$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }=\frac{1}{8}$.

Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable ; elle s'obtient à partir de l'égalité :

$\prod _{j=0}^{k-1}\cos (2^{j}x)=\frac{\sin (2^{k}x)}{2^k\sin x}$.

• Autres exemples :

$\cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }=\cos \frac{\pi }{5}+\cos 3\frac{\pi }{5}=\frac{1}{2}.$

$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }=\cos \frac{2\pi }{15}+\cos 2\frac{2\pi }{15}+\cos 4\frac{2\pi }{15}+\cos 7\frac{2\pi }{15}=\frac{1}{2}.$

$\cos \frac{2\pi }{21}+\cos 2\frac{2\pi }{21}+\cos 4\frac{2\pi }{21}+\cos 5\frac{2\pi }{21}+\cos 8\frac{2\pi }{21}+\cos 10\frac{2\pi }{21}=\frac{1}{2}.$

Les facteurs 1, 2, 4, 5, 8, 10 sont les entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21.

Ces exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les polynômes cyclotomiques ; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la fonction de Möbius en 21 (dans le tout dernier cas qui précède) ; seulement la moitié des racines sont présentes dans ces relations.

• Dans cet article, on trouvera des identités faisant intervenir l'angle $\frac{\pi }{7}$ , comme $\cos \frac{\pi }{7}-\cos \frac{2\pi }{7}+\cos \frac{3\pi }{7}=\frac{1}{2}$
• et dans celui-ci, des identités faisant intervenir l'angle $\frac{\pi }{9}$, comme $\cos \frac{\pi }{9}-\cos \frac{2\pi }{9}+\cos \frac{4\pi }{9}=\frac{1}{2}$.
• Autres identités classiques :
  • $\prod _{k=1}^{n-1}\tan \frac{k\pi }{2n}=1$, dont on déduit $\tan 1^{\circ }\tan 2^{\circ }...\tan 89^{\circ }=1$.
  • $\sum _{k=1}^n{\sin }^{2}k\frac{\pi }{n}=\frac{n}{2}$, dont on déduit ${\sin }^2{1}^{\circ }+{\sin }^2{2}^{\circ }+\cdots +{\sin }^{2}89^{\circ }={\cos }^2{1}^{\circ }+{\cos }^2{2}^{\circ }+\cdots +{\cos }^{2}89^{\circ }=89/2$.
  • $\prod _{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$, dont on déduit $\sin 1^{\circ }\sin 2^{\circ }...\sin 89^{\circ }=\cos 1^{\circ }\cos 2^{\circ }...\cos 89^{\circ }=\sqrt{\frac{180}{2^{179}}}$.

En analyse

En analyse, il est essentiel que les angles qui apparaissent comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en radians ; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses.

Modèle:Page h'

• La signification géométrique du sinus et de la tangente « montre » — et le théorème des accroissements finis démontre — que$\mathrm{\forall }x\in ]0,\pi /2[\sin x<x<\tan x.$

Cet encadrement est souvent utilisé ; deux exemples en sont la méthode d'Archimède pour le calcul du [[Pi|nombre Modèle:Math]] (voir quadrature du cercle) et le problème de Bâle.

• En changeant x en arctan x , on obtient :$\mathrm{\forall }x>0\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}<\arctan x<x.$

• En changeant x en arcsin x, on obtient :$\mathrm{\forall }x\in ]0,1[x<\arcsin x<\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$

• Cet encadrement peut servir par dérivation à montrer que les fonctions $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ (sinus cardinal) et $x\mapsto \frac{\tan x}{x}$ sont respectivement strictement décroissante et strictement croissante sur $]0,\pi /2[$, ce qui équivaut à l'encadrement (parfois dénommé inégalité d'Aristarque) :

$\mathrm{\forall }\alpha >\beta \in ]0,\frac{\pi }{2}[\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }<\frac{\alpha }{\beta }<\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }.$

Dérivées

Les dérivées de Modèle:Math et Modèle:Math peuvent se déduire l'une de l'autre par [[#Périodicité, décalages|décalage de Modèle:Math]]. Elles sont :

${\sin }^{\prime }=\cos ,{\cos }^{\prime }=-\sin .$

Les autres fonctions trigonométriques peuvent être dérivées en utilisant les identités précédentes et les règles de dérivation. Par exemple :

Primitives

Les identités sur les intégrales peuvent être trouvées dans la table des primitives de fonctions trigonométriques.

Avec un argument complexe

Fonctions trigonométriques

Écriture	Expression	Ensemble de départ	Ensemble d'arrivée	Dérivée	Argument complexe
$\sin x$	$\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}$	$ℝ$	$[-1;1]$	$\cos x$	$\sin \left(\mathrm{i}x\right)=\mathrm{i}\sinh x$
$\cos x$	$\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2}$	$ℝ$	$[-1;1]$	$-\sin x$	$\cos \left(\mathrm{i}x\right)=\cosh x$
$\tan x$	$\mathrm{i}\frac{1-{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}x}}{1+{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}x}}$	$ℝ\mathrm{\setminus }\{\frac{\pi }{2}+p\pi \},p\in \mathbb{Z}$	$ℝ$	$1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	$\tan \left(\mathrm{i}x\right)=\mathrm{i}\tanh x$
$\cot x$	$\mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}x}+1}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}x}-1}$	$ℝ\mathrm{\setminus }\left\{p\pi \right\},p\in \mathbb{Z}$	$ℝ$	$-(1+{\cot }^{2}x)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$	$\cot \left(\mathrm{i}x\right)=-\mathrm{i}\coth x$
$\sec x$	$\frac{2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}$	$ℝ\mathrm{\setminus }\{\frac{\pi }{2}+p\pi \},p\in \mathbb{Z}$	$ℝ\mathrm{\setminus }]-1;1[$	$\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}=\sin x\cdot \tan x$	$\sec \left(\mathrm{i}x\right)=\mathrm{sech}x$
$\csc x$	$\frac{2\mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}$	$ℝ\mathrm{\setminus }\left\{p\pi \right\},p\in \mathbb{Z}$	$ℝ\mathrm{\setminus }]-1;1[$	$-\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}=-\cos x\cdot \cot x$	$\csc \left(\mathrm{i}x\right)=-\mathrm{i}\mathrm{csch}x$

Fonctions trigonométriques réciproques

Écriture	Expression	Ensemble de départ	Ensemble d'arrivée	Dérivée	Argument complexe
$\arcsin x$	$\mathrm{i}\ln (\sqrt{1-x^2}-\mathrm{i}x)$	$[-1;1]$	$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin \left(\mathrm{i}x\right)=\mathrm{i}\mathrm{arsinh}x$
$\arccos x$	$\mathrm{i}\ln (x-\mathrm{i}\sqrt{1-x^2})$	$[-1;1]$	$[0;\pi ]$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arccos \left(\mathrm{i}x\right)=\frac{\pi }{2}-\mathrm{i}\mathrm{arsinh}x$
$\arctan x$	$\frac{\mathrm{i}}{2}\ln \frac{1-\mathrm{i}x}{1+\mathrm{i}x}$	$ℝ$	$]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}[$	$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctan \left(\mathrm{i}x\right)=\mathrm{i}\mathrm{artanh}x$
$\mathrm{arccot}x$	$\frac{\mathrm{i}}{2}\ln \frac{x-\mathrm{i}}{x+\mathrm{i}}$	$ℝ$	$]0;\pi [$	$-\frac{1}{1+x^2}$	$\mathrm{arccot}\left(\mathrm{i}x\right)=-\mathrm{i}\mathrm{arcoth}x$
$\mathrm{arcsec}x$	$\mathrm{i}\ln (\frac{1}{x}-\mathrm{i}\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})$	$ℝ\mathrm{\setminus }]-1;1[$	$[0;\frac{\pi }{2}[\cup ]\frac{\pi }{2};\pi ]$	$\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}$	$\mathrm{arcsec}\left(\mathrm{i}x\right)=\frac{\pi }{2}+\mathrm{i}\mathrm{arcsch}x$
$\mathrm{arccsc}x$	$\mathrm{i}\ln (\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-\frac{\mathrm{i}}{x})$	$ℝ\mathrm{\setminus }]-1;1[$	$[-\frac{\pi }{2};0[\cup ]0;\frac{\pi }{2}]$	$-\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}$	$\mathrm{arccsc}\left(\mathrm{i}x\right)=-\mathrm{i}\mathrm{arcsch}x$

Fonctions hyperboliques

Écriture	Expression	Ensemble de départ	Ensemble d'arrivée	Dérivée	Argument complexe
$\sinh x=\mathrm{sh}x$	$\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$	$ℝ$	$ℝ$	$\cosh x$	$\sinh (\mathrm{i}x)=\mathrm{i}\sin x$
$\cosh x=\mathrm{ch}x$	$\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$	$ℝ$	$[1;\mathrm{\infty }[$	$\sinh x$	$\cosh (\mathrm{i}x)=\cos x$
$\tanh x=\mathrm{th}x$	$\frac{{\mathrm{e}}^{2x}-1}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}$	$ℝ$	$]-1;1[$	$\frac{1}{{\cosh }^{2}x}=1-{\tanh }^{2}x$	$\tanh (\mathrm{i}x)=\mathrm{i}\tan x$
$\coth x$	$\frac{{\mathrm{e}}^{2x}+1}{{\mathrm{e}}^{2x}-1}$	${ℝ}^{*}$	$ℝ\mathrm{\setminus }[-1;1]$	$-\frac{1}{{\sinh }^{2}x}=1-{\coth }^{2}x$	$\coth (\mathrm{i}x)=-\mathrm{i}\cot x$
$\mathrm{sech}x$	$\frac{2}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}$	$ℝ$	$]0;1]$	$-\frac{\sinh x}{{\cosh }^{2}x}$	$\mathrm{sech}(\mathrm{i}x)=\sec x$
$\mathrm{csch}x$	$\frac{2}{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}$	${ℝ}^{*}$	${ℝ}^{*}$	$-\frac{\cosh x}{{\sinh }^{2}x}$	$\mathrm{csch}(\mathrm{i}x)=-\mathrm{i}\csc x$

Fonctions hyperboliques réciproques

Écriture	Expression	Ensemble de départ	Ensemble d'arrivée	Dérivée	Argument complexe
$\mathrm{arsinh}x=\mathrm{argsh}x$	$\ln (x+\sqrt{x^2+1})$	$ℝ$	$ℝ$	$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$	$\mathrm{arsinh}(\mathrm{i}x)=\mathrm{i}\arcsin x$
$\mathrm{arcosh}x=\mathrm{argch}x$	$\ln (x+\sqrt{x^2-1})$	$[1;\mathrm{\infty }[$	${ℝ}^{+}$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$	$\mathrm{arcosh}(\mathrm{i}x)=\mathrm{arsinh}x+\mathrm{i}\frac{\pi }{2}$Modèle:RefModèle:,
$\mathrm{artanh}x=\mathrm{argth}x$	$\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$	$]-1;1[$	$ℝ$	$\frac{1}{1-x^2}$	$\mathrm{artanh}(\mathrm{i}x)=\mathrm{i}\arctan x$
$\mathrm{arcoth}x=\mathrm{argcoth}x$	$\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1}$	$ℝ\mathrm{\setminus }[-1;1]$	${ℝ}^{*}$	$\frac{1}{1-x^2}$	$\mathrm{arcoth}(\mathrm{i}x)=-\mathrm{i}\mathrm{arccot}x$
$\mathrm{arsech}x=\mathrm{argsech}x$	$\ln \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}$	$]0;1]$	${ℝ}^{+}$	$-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$	$\mathrm{arsech}(\mathrm{i}x)=\mathrm{arcsch}x-\mathrm{i}\frac{\pi }{2}$Modèle:RefModèle:,
$\mathrm{arcsch}x=\mathrm{argcsch}x$	$\ln \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}$	${ℝ}^{*}$	${ℝ}^{*}$	$-\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}$	$\mathrm{arcsch}(\mathrm{i}x)=-\mathrm{i}\mathrm{arccsc}x$

Voir aussi

• Fonction hyperbolique
• Trigonométrie