Formules trigonométriques en kπ/7

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Cet article présente des formules trigonométriques faisant intervenir des angles multiples de Modèle:Math.

Valeur et construction approchées

Tracé (approximatif) d'un angle de π7.

Le nombre

cos⁡π7

a pour développement décimal :

0,9009688...

, Modèle:OEIS.

On a donc avec une assez bonne approximation :

cos⁡π7≃910.

Cette valeur permet de construire à la règle et au compas un angle ayant une mesure proche de π7. On trace un segment [AB] et un point P tel que AP=910AB. Soit C le point d'interception entre le cercle de centre A et de rayon AB avec la perpendiculaire à (AB) passant par P. Alors l'angle BAC^ a une mesure proche de π7.

Si on dispose sept cure-dents identiques de sorte que Modèle:Mvar soient alignés, l'angle en Modèle:Mvar vaut π/7.

Constructibilité

Le nombre cos⁡π7 n'est pas constructible (on peut déduire ce cas particulier du théorème de Gauss-Wantzel, en utilisant le théorème de Wantzel et l'équation de degré 3 ci-dessous), ce qui revient à dire qu'il n'existe pas de construction à la règle et au compas de l'heptagone régulier.

Modèle:Article détaillé

Par contre cos⁡π7 est "cure-dents-constructible", comme indiqué dans la figure ci-contre [1]. Cette construction a été trouvée en 1973 par Crockett Johnson en jouant avec des cure-dents dans un café [2]. On peut aussi l'obtenir à partir d'un heptagone articulé avec des barres de même longueur.

Quelques solutions d'équations

  • L'équation x3−x22−x2+18=0 a pour solutions :
    cos⁡π7,−cos⁡2π7,cos⁡3π7[3] .

Modèle:Démonstration

cos⁡π7 est donc un nombre algébrique, mais on peut montrer qu'il n'est pas exprimable par radicaux réels (l'équation ci-dessus présente un casus irreducibilis) ; on peut cependant l'exprimer par radicaux cubiques et carrés complexes : si u=−1+3i32, cos⁡π7=16(1+49u3+7u3).

  • Donc l'équation x3−x2−2x+1=0 a pour solutions : 2cos⁡π7,−2cos⁡2π7,2cos⁡3π7 , ce qui montre que 2cos⁡π7 est un entier algébrique.
  • L'équation x3+x2−x+17=0 a pour solutions :
    tan⁡π77,tan⁡2π77,−tan⁡3π77[3] .

Modèle:Démonstration

  • Donc l'équation x3+7x2−49x+49=0 a pour solutions : 7tan⁡π7,7tan⁡2π7,−7tan⁡3π7 ce qui montre que 7tan⁡π7 est un entier algébrique.
  • L'équation
    x3+x22−156=0
    a pour solutions :
    sin⁡π77,−sin⁡2π77,−sin⁡3π77[4] .

Modèle:Démonstration

Formules homogènes

On en déduit les fonctions symétriques élémentaires associées aux équations précédentes :

  • {cos⁡π7−cos⁡2π7+cos⁡3π7=12cos⁡π7cos⁡2π7cos⁡3π7=18cos⁡π7cos⁡2π7−cos⁡π7cos⁡3π7+cos⁡2π7cos⁡3π7=12
  • {tan⁡π7+tan⁡2π7−tan⁡3π7=−7tan⁡π7tan⁡2π7tan⁡3π7=7tan⁡π7tan⁡2π7−tan⁡π7tan⁡3π7−tan⁡2π7tan⁡3π7=−7
  • {sin⁡π7−sin⁡2π7−sin⁡3π7=−72sin⁡π7sin⁡2π7sin⁡3π7=78sin⁡π7sin⁡2π7+sin⁡π7sin⁡3π7−sin⁡2π7sin⁡3π7=0

Autres relations

cos⁡2π7=2cos2π7−1=14cos⁡π7−2
cos⁡3π7=−cos⁡4π7=1−2cos22π7=14cos⁡2π7+2
cos⁡π7=−cos⁡6π7=1−2cos23π7=12−4cos⁡3π7

Autres formules découlant des précédentes

Pour d'autres valeurs de l'entier Modèle:Mvar dans Modèle:Math, on peut se ramener aux formules précédentes en tenant compte de la parité de Modèle:Math et de l'imparité de Modèle:Math et Modèle:Math, et du fait que

cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ et sin⁡(π−θ)=sin⁡θ.

Sommes de Newton

La suite

pn:=(2cos⁡π7)n+(−2cos⁡2π7)n+(2cos⁡3π7)n(n∈ℤ)

se déduit des polynômes symétriques élémentaires ci-dessus, dans ses valeurs initiales

p0=3,p1=1,p2=5

et dans sa récurrence linéaire d'ordre 3 :

∀n∈ℤpn+3−pn+2−2pn+1+pn=0.

Par exemple :

p3=4,p4=13,p5=16,p6=38,p7=57 Modèle:OEIS, et
p−1=2,p−2=6,p−3=11,p−4=26,p−5=57Modèle:OEIS.

Tous les entiers Modèle:Mvar sont strictement positifs[5], les deux suites (pn)n≥3 et (p−n)n≥1 étant même strictement croissantes.

Voir aussi

Liens externes

Notes et références

Modèle:Références

Modèle:Portail

  1. ↑ Modèle:Ouvrage
  2. ↑ Modèle:Lien web
  3. ↑ 3,0 et 3,1 Modèle:Note autre projet
  4. ↑ Modèle:Note autre projet
  5. ↑ Modèle:Article.
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