Triangle heptagonal

L'heptagone régulier convexe (côtés rouges), avec ses diagonales longues (en vert) et courtes (en bleu). On compte quatorze triangles heptagonaux congruents constitués d'un côté vert, un bleu et un rouge.

Triangle heptagonal.

En géométrie, le triangle heptagonal est le triangle, unique à similitude près, d'angles de mesures en radians Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, soit environ 26°, 51° et 103°. C'est l'unique triangle dont les angles sont dans des rapports 4:2:1.

On l’obtient dans l'heptagone régulier convexe en partant d'un des sommets et en prenant les deuxième et quatrième sommets. Ses côtés sont donc constitués d'un côté de l'heptagone régulier, et deux de ses diagonales (une longue et une courte).

Comme le triangle d'or, dont les angles sont dans les rapports 2:2:1, le triangle heptagonal a de nombreuses propriétés remarquables.

Le triangle heptagonal et ses centres

Modèle:Article détaillé Le centre du cercle d'Euler du triangle heptagonal est aussi son premier point de BrocardModèle:Rp. Le second point de Brocard se trouve sur le cercle d'EulerModèle:Rp.

Le centre du cercle circonscrit et les points de Fermat du triangle heptagonal forment un triangle équilatéralModèle:Rp.

En notant Modèle:Mvar le rayon du cercle circonscrit et Modèle:Mvar le centre du cercle inscrit, on peut exprimer la distance entre le centre du cercle circonscrit O et l'orthocentre H parModèle:Rp

$OH=R\sqrt{2},$

et la distance entre le centre du cercle circonscrit I à l'orthocentre parModèle:Rp

$I{H}^2=\frac{R^2+4r^2}{2}.$

Les deux tangentes au cercle circonscrit issues de l'orthocentre sont perpendiculairesModèle:Rp.

Relations entre les distances

Longueurs des côtés

Les côtés du triangle heptagonal Modèle:Math coïncident, par définition, avec le côté de l'heptagone régulier, sa diagonale courte et sa diagonale longue. Ces trois longueurs vérifientModèle:Rp

$a^2=c(c-b),b^2=a(c+a),c^2=b(a+b),\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

(la dernière est connue sous le nom d'Modèle:LienModèle:Rp) et donc

$ab+ac=bc,$

etModèle:Rp

$b^3+2b^{2}c-b{c}^2-c^3=0,$

$c^3-2c^{2}a-c{a}^2+a^3=0,$

$a^3-2a^{2}b-a{b}^2+b^3=0.$

Ainsi, les rapports Modèle:Math, Modèle:Math, et Modèle:Math sont les racines de l'équation cubique

$t^3-2t^2-t+1=0.$

Il n'existe aucune expression algébrique réelle pour les solutions de cette équation, car c'est un exemple de Modèle:Lang. On a cependant les approximations

$b\approx 1,80193\cdot a,c\approx 2,24698\cdot a.$

On a aussiModèle:,

$\frac{a^2}{bc},-\frac{b^2}{ca},-\frac{c^2}{ab}$

qui vérifient l'équation cubique

$t^3+4t^2+3t-1=0.$

On a

$\frac{a^3}{b{c}^2},-\frac{b^3}{c{a}^2},\frac{c^3}{a{b}^2}$

qui vérifient l'équation cubique

$t^3-t^2-9t+1=0.$

On a

$\frac{a^3}{b^{2}c},\frac{b^3}{c^{2}a},-\frac{c^3}{a^{2}b}$

qui vérifient l'équation cubique

$t^3+5t^2-8t+1=0.$

On a Modèle:Rp

$b^2-a^2=ac,c^2-b^2=ab,a^2-c^2=-bc,$

etModèle:Rp

$\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}=5.$

On a aussi

$ab-bc+ca=0,$

$a^{3}b-b^{3}c+c^{3}a=0,$

$a^{4}b+b^{4}c-c^{4}a=0,$

$a^{11}{b}^3-b^{11}{c}^3+c^{11}{a}^3=0.$

$a^m{b}^n\pm b^m{c}^n\pm c^m{a}^n=0.$

Hauteurs

Les hauteurs Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar vérifientModèle:Rp

$h_a=h_b+h_c$

et

$h_a^2+h_b^2+h_c^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$Modèle:Rp.

La hauteur pour le côté b (d'angle opposé B) est la moitié de la bissectrice interne Modèle:Mvar de AModèle:Rp :

$2h_b=w_A.$

Ici, l'angle A est le plus petit angle, et B le second plus petit.

Bissectrices internes

Les longueurs des bissectrices internes Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar (bissectrices des angles A, B et C respectivement) vérifientModèle:Rp :

$w_A=b+c,w_B=c-a,w_C=b-a.$

Rayons des cercles circonscrit, inscrit et exinscrits

On note Modèle:Mvar le rayon du cercle circonscrit au triangle heptagonal. Son aire vaut alors :

$A=\frac{\sqrt{7}}{4}{R}^2.$

On a aussiModèle:RpModèle:,

$a^2+b^2+c^2=7R^2,a^4+b^4+c^4=21R^4,a^6+b^6+c^6=70R^6,$

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{2}{R^2},\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}=\frac{2}{R^4},\frac{1}{a^6}+\frac{1}{b^6}+\frac{1}{c^6}=\frac{17}{7R^6}.$

De façon générale, pour tout entier n,

$a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}=g(n)(2R{)}^{2n}$

avec

$g(-1)=8,g(0)=3,g(1)=7$

et

$g(n)=7g(n-1)-14g(n-2)+7g(n-3),$

on a

$2b^2-a^2=\sqrt{7}bR,2c^2-b^2=\sqrt{7}cR,2a^2-c^2=-\sqrt{7}aR.$

On a aussi

$a^{3}c+b^{3}a-c^{3}b=-7R^4,$

$a^{4}c-b^{4}a+c^{4}b=7\sqrt{7}{R}^5,$

$a^{11}{c}^3+b^{11}{a}^3-c^{11}{b}^3=-7^{3}17R^{14}.$

Le rapport Modèle:Math entre le rayon du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit est la racine positive de l'équation cubique

$8x^3+28x^2+14x-7=0.$

Le rayon du cercle exinscrit au côté Modèle:Mvar est égal au rayon du cercle d'Euler du triangle heptagonalModèle:Rp.

Triangle orthique

Le triangle orthique du triangle heptagonal, dont les sommets sont les pieds des hauteurs, est semblable au triangle heptagonal, dans le Modèle:Nobr. Le triangle heptagonal est le seul triangle obtusangle qui est semblable à son triangle orthique (le triangle équilatéral est le seul triangle acutangle ayant la même propriété, et ce avec le même rapport de proportionnalité)Modèle:Rp.

Le cercle circonscrit au triangle orthique du triangle heptagonal est le cercle d'Euler du triangle heptagonal.

Trigonométrie

Modèle:Article détaillé Les nombreuses identités trigonométriques associées au triangle heptagonal incluentModèle:RpModèle:,

$A=\frac{\pi }{7},B=\frac{2\pi }{7}=2A,C=\frac{4\pi }{7}=4A=2B$

$\cos A=\frac{b}{2a},\cos B=\frac{c}{2b},\cos C=-\frac{a}{2c},$Modèle:Rp

$\cos A\cos B\cos C=-\frac{1}{8}.$

Modèle:Démonstration Par différentes méthodes (comme l'utilisation judicieuse de la formule de Moivre), on peut trouver les égalités suivantes :

${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C=\frac{5}{4},$

${\cos }^{4}A+{\cos }^{4}B+{\cos }^{4}C=\frac{13}{16},$

$\cot A+\cot B+\cot C=\sqrt{7},$

${\cot }^{2}A+{\cot }^{2}B+{\cot }^{2}C=5,$

${\csc }^{2}A+{\csc }^{2}B+{\csc }^{2}C=8,$

${\csc }^{4}A+{\csc }^{4}B+{\csc }^{4}C=32,$

${\sec }^{2}A+{\sec }^{2}B+{\sec }^{2}C=24,$

${\sec }^{4}A+{\sec }^{4}B+{\sec }^{4}C=416,$

$\sin A\sin B\sin C=\frac{\sqrt{7}}{8},$

${\sin }^{2}A{\sin }^{2}B{\sin }^{2}C=\frac{7}{64},$

${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=\frac{7}{4},$

${\sin }^{4}A+{\sin }^{4}B+{\sin }^{4}C=\frac{21}{16},$

$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C=-\sqrt{7},$

${\tan }^{2}A+{\tan }^{2}B+{\tan }^{2}C=21.$

La racine positive de l'équation cubiqueModèle:Rp

$x^3+x^2-2x-1=0$

est égale à $2\cos \frac{2\pi }{7}.$

Avec les sinus

Les racines de l'équation cubique

$x^3-\frac{\sqrt{7}}{2}{x}^2+\frac{\sqrt{7}}{8}=0$

sont $\sin \left(\frac{2\pi }{7}\right),\sin \left(\frac{4\pi }{7}\right),\sin \left(\frac{8\pi }{7}\right).$

Les racines de l'équation cubiqueModèle:Rp

$64y^3-112y^2+56y-7=0$

sont ${\sin }^2\left(\frac{\pi }{7}\right),{\sin }^2\left(\frac{2\pi }{7}\right),{\sin }^2\left(\frac{4\pi }{7}\right).$

On a aussi :

$\sin A-\sin B-\sin C=-\frac{\sqrt{7}}{2},$

$\sin A\sin B-\sin B\sin C+\sin C\sin A=0,$

$\sin A\sin B\sin C=\frac{\sqrt{7}}{8}.$

Pour un entier Modèle:Mvar, on pose Modèle:Math. On a alors

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
S(n)	3	$\frac{\sqrt{7}}{2}$	$\frac{7}{2^2}$	$\frac{\sqrt{7}}{2}$	$\frac{7\cdot 3}{2^4}$	$\frac{7\sqrt{7}}{2^4}$	$\frac{7\cdot 5}{2^5}$	$\frac{7^2\sqrt{7}}{2^7}$	$\frac{7^2\cdot 5}{2^8}$	$\frac{7\cdot 25\sqrt{7}}{2^9}$	$\frac{7^2\cdot 9}{2^9}$	$\frac{7^2\cdot 13\sqrt{7}}{2^{11}}$	$\frac{7^2\cdot 33}{2^{11}}$	$\frac{7^2\cdot 3\sqrt{7}}{2^9}$	$\frac{7^4\cdot 5}{2^{14}}$	$\frac{7^2\cdot 179\sqrt{7}}{2^{15}}$	$\frac{7^3\cdot 131}{2^{16}}$	$\frac{7^3\cdot 3\sqrt{7}}{2^{12}}$	$\frac{7^3\cdot 493}{2^{18}}$	$\frac{7^3\cdot 181\sqrt{7}}{2^{18}}$	$\frac{7^5\cdot 19}{2^{19}}$
S(-n)	3	0	2Modèle:Exp	$-\frac{2^3\cdot 3\sqrt{7}}{7}$	2Modèle:Exp	$-\frac{2^5\cdot 5\sqrt{7}}{7}$	$\frac{2^6\cdot 17}{7}$	$-2^7\sqrt{7}$	$\frac{2^9\cdot 11}{7}$	$-\frac{2^{10}\cdot 33\sqrt{7}}{7^2}$	$\frac{2^{10}\cdot 29}{7}$	$-\frac{2^{14}\cdot 11\sqrt{7}}{7^2}$	$\frac{2^{12}\cdot 269}{7^2}$	$-\frac{2^{13}\cdot 117\sqrt{7}}{7^2}$	$\frac{2^{14}\cdot 51}{7}$	$-\frac{2^{21}\cdot 17\sqrt{7}}{7^3}$	$\frac{2^{17}\cdot 237}{7^2}$	$-\frac{2^{17}\cdot 1445\sqrt{7}}{7^3}$	$\frac{2^{19}\cdot 2203}{7^3}$	$-\frac{2^{19}\cdot 1919\sqrt{7}}{7^3}$	$\frac{2^{20}\cdot 5851}{7^3}$

Avec les cosinus

Les cosinus aux angles Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math sont les racines de l'équation cubique :

$x^3+\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}=0.$

Pour un entier Modèle:Mvar, on pose Modèle:Math. On a alors

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
C(n)	3	$-\frac{1}{2}$	$\frac{5}{4}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{13}{16}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{19}{32}$	$-\frac{57}{128}$	$\frac{117}{256}$	$-\frac{193}{512}$	$\frac{185}{512}$
C(-n)	3	-4	24	-88	416	-1824	8256	-36992	166400	-747520	3359744

Avec les tangentes

Les tangentes aux angles Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math sont les racines de l'équation cubique :

$x^3+\sqrt{7}{x}^2-7x+\sqrt{7}=0.$

Les carrés des tangentes aux angles Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math sont les racines de l'équation cubique :

$x^3-21x^2+35x-7=0.$

Pour un entier Modèle:Mvar, on pose Modèle:Math. On a alors

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
T(n)	3	$-\sqrt{7}$	$7\cdot 3$	$-31\sqrt{7}$	$7\cdot 53$	$-7\cdot 87\sqrt{7}$	$7\cdot 1011$	$-7^2\cdot 239\sqrt{7}$	$7^2\cdot 2771$	$-7\cdot 32119\sqrt{7}$	$7^2\cdot 53189$
T(-n)	3	$\sqrt{7}$	5	$\frac{25\sqrt{7}}{7}$	19	$\frac{103\sqrt{7}}{7}$	$\frac{563}{7}$	$7\cdot 9\sqrt{7}$	$\frac{2421}{7}$	$\frac{13297\sqrt{7}}{7^2}$	$\frac{10435}{7}$

Formules mixtes

On a aussiModèle:,

$\tan A-4\sin B=-\sqrt{7},$

$\tan B-4\sin C=-\sqrt{7},$

$\tan C+4\sin A=-\sqrt{7}.$

On a aussi

${\cot }^{2}A=1-\frac{2\tan C}{\sqrt{7}},$

${\cot }^{2}B=1-\frac{2\tan A}{\sqrt{7}},$

${\cot }^{2}C=1-\frac{2\tan B}{\sqrt{7}}.$

$\cos A=-\frac{1}{2}+\frac{4}{\sqrt{7}}{\sin }^{3}C,$

${\cos }^{2}A=\frac{3}{4}+\frac{2}{\sqrt{7}}{\sin }^{3}A,$

$\cot A=\frac{3}{\sqrt{7}}+\frac{4}{\sqrt{7}}\cos B,$

${\cot }^{2}A=3+\frac{8}{\sqrt{7}}\sin A,$

$\cot A=\sqrt{7}+\frac{8}{\sqrt{7}}{\sin }^{2}B,$

${\csc }^{3}A=-\frac{6}{\sqrt{7}}+\frac{2}{\sqrt{7}}{\tan }^{2}C,$

$\sec A=2+4\cos C,$

$\sec A=6-8{\sin }^{2}B,$

$\sec A=4-\frac{16}{\sqrt{7}}{\sin }^{3}B,$

${\sin }^{2}A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos B,$

${\sin }^{3}A=-\frac{\sqrt{7}}{8}+\frac{\sqrt{7}}{4}\cos B,$

On a aussi

${\sin }^{3}B\sin C-{\sin }^{3}C\sin A-{\sin }^{3}A\sin B=0,$

$\sin B{\sin }^{3}C-\sin C{\sin }^{3}A-\sin A{\sin }^{3}B=\frac{7}{2^4},$

${\sin }^{4}B\sin C-{\sin }^{4}C\sin A+{\sin }^{4}A\sin B=0,$

$\sin B{\sin }^{4}C+\sin C{\sin }^{4}A-\sin A{\sin }^{4}B=\frac{7\sqrt{7}}{2^5},$

${\sin }^{11}B{\sin }^{3}C-{\sin }^{11}C{\sin }^{3}A-{\sin }^{11}A{\sin }^{3}B=0,$

${\sin }^{3}B{\sin }^{11}C-{\sin }^{3}C{\sin }^{11}A-{\sin }^{3}A{\sin }^{11}B=\frac{7^3\cdot 17}{2^{14}}.$

Identités de type Ramanujan

On peut également obtenir des identités similaires à celles découvertes par Srinivasa RamanujanModèle:,

$\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{2\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{8\pi }{7}\right)}=(-\sqrt[18]{7})\sqrt[3]{-\sqrt[3]{7}+6+3(\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}+\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]{7}})}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{2\pi }{7}\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{4\pi }{7}\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{8\pi }{7}\right)}}=(-\frac{1}{\sqrt[18]{7}})\sqrt[3]{6+3(\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}+\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]{7}})}$

$\sqrt[3]{4{\sin }^2\left(\frac{2\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{4{\sin }^2\left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{4{\sin }^2\left(\frac{8\pi }{7}\right)}=\left(\sqrt[18]{49}\right)\sqrt[3]{\sqrt[3]{49}+6+3(\sqrt[3]{12+3(\sqrt[3]{49}+2\sqrt[3]{7})}+\sqrt[3]{11+3(\sqrt[3]{49}+2\sqrt[3]{7})})}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{4{\sin }^2\left(\frac{2\pi }{7}\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{4{\sin }^2\left(\frac{4\pi }{7}\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{4{\sin }^2\left(\frac{8\pi }{7}\right)}}=\left(\frac{1}{\sqrt[18]{49}}\right)\sqrt[3]{2\sqrt[3]{7}+6+3(\sqrt[3]{12+3(\sqrt[3]{49}+2\sqrt[3]{7})}+\sqrt[3]{11+3(\sqrt[3]{49}+2\sqrt[3]{7})})}$

$\sqrt[3]{2\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{2\cos \left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{2\cos \left(\frac{8\pi }{7}\right)}=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{2\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2\cos \left(\frac{4\pi }{7}\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2\cos \left(\frac{8\pi }{7}\right)}}=\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]{7}}$

$\sqrt[3]{4{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{4{\cos }^2\left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{4{\cos }^2\left(\frac{8\pi }{7}\right)}=\sqrt[3]{11+3(2\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49})}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{4{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{7}\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{4{\cos }^2\left(\frac{4\pi }{7}\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{4{\cos }^2\left(\frac{8\pi }{7}\right)}}=\sqrt[3]{12+3(2\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49})}$

$\sqrt[3]{\tan \left(\frac{2\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{\tan \left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{\tan \left(\frac{8\pi }{7}\right)}=(-\sqrt[18]{7})\sqrt[3]{\sqrt[3]{7}+6+3(\sqrt[3]{5+3(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{49})}+\sqrt[3]{-3+3(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{49})})}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{\tan \left(\frac{2\pi }{7}\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\tan \left(\frac{4\pi }{7}\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\tan \left(\frac{8\pi }{7}\right)}}=(-\frac{1}{\sqrt[18]{7}})\sqrt[3]{-\sqrt[3]{49}+6+3(\sqrt[3]{5+3(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{49})}+\sqrt[3]{-3+3(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{49})})}$

$\sqrt[3]{{\tan }^2\left(\frac{2\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{{\tan }^2\left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{{\tan }^2\left(\frac{8\pi }{7}\right)}=\left(\sqrt[18]{49}\right)\sqrt[3]{3\sqrt[3]{49}+6+3(\sqrt[3]{89+3(3\sqrt[3]{49}+5\sqrt[3]{7})}+\sqrt[3]{25+3(3\sqrt[3]{49}+5\sqrt[3]{7})})}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{{\tan }^2\left(\frac{2\pi }{7}\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{{\tan }^2\left(\frac{4\pi }{7}\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{{\tan }^2\left(\frac{8\pi }{7}\right)}}=\left(\frac{1}{\sqrt[18]{49}}\right)\sqrt[3]{5\sqrt[3]{7}+6+3(\sqrt[3]{89+3(3\sqrt[3]{49}+5\sqrt[3]{7})}+\sqrt[3]{25+3(3\sqrt[3]{49}+5\sqrt[3]{7})})}$

On a aussi

$\sqrt[3]{\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)/\cos \left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{\cos \left(\frac{4\pi }{7}\right)/\cos \left(\frac{8\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{\cos \left(\frac{8\pi }{7}\right)/\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)}=-\sqrt[3]{7}.$

$\sqrt[3]{\cos \left(\frac{4\pi }{7}\right)/\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{\cos \left(\frac{8\pi }{7}\right)/\cos \left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)/\cos \left(\frac{8\pi }{7}\right)}=0.$

$\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{2\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{8\pi }{7}\right)}=(-\sqrt[18]{7})\sqrt[3]{-\sqrt[3]{7}+6+3(\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}+\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]{7}})}$

$\sqrt[3]{{\cos }^4\left(\frac{4\pi }{7}\right)/\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{{\cos }^4\left(\frac{8\pi }{7}\right)/\cos \left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{{\cos }^4\left(\frac{2\pi }{7}\right)/\cos \left(\frac{8\pi }{7}\right)}=-\sqrt[3]{49}/2.$

$\sqrt[3]{{\cos }^5\left(\frac{2\pi }{7}\right)/{\cos }^2\left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{{\cos }^5\left(\frac{4\pi }{7}\right)/{\cos }^2\left(\frac{8\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{{\cos }^5\left(\frac{8\pi }{7}\right)/{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{7}\right)}=0.$

$\sqrt[3]{{\cos }^5\left(\frac{4\pi }{7}\right)/{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{{\cos }^5\left(\frac{8\pi }{7}\right)/{\cos }^2\left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{{\cos }^5\left(\frac{2\pi }{7}\right)/{\cos }^2\left(\frac{8\pi }{7}\right)}=-3\sqrt[3]{7}/2.$

$\sqrt[3]{{\cos }^{14}\left(\frac{2\pi }{7}\right)/{\cos }^5\left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{{\cos }^{14}\left(\frac{4\pi }{7}\right)/{\cos }^5\left(\frac{8\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{{\cos }^{14}\left(\frac{8\pi }{7}\right)/{\cos }^5\left(\frac{2\pi }{7}\right)}=0.$

$\sqrt[3]{{\cos }^{14}\left(\frac{4\pi }{7}\right)/{\cos }^5\left(\frac{2\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{{\cos }^{14}\left(\frac{8\pi }{7}\right)/{\cos }^5\left(\frac{4\pi }{7}\right)}+\sqrt[3]{{\cos }^{14}\left(\frac{2\pi }{7}\right)/{\cos }^5\left(\frac{8\pi }{7}\right)}=-61\sqrt[3]{7}/8.$