Formules trigonométriques en kπ/9

Cet article présente des formules trigonométriques faisant intervenir des angles multiples de Modèle:Math.

Valeurs approchées

Le nombre $\cos \frac{\pi }{9}=\cos 20^{\circ }=\sin \frac{7\pi }{18}=\sin 70^{\circ }$ a pour développement décimal : $0,9396926207...$ , Modèle:OEIS.

Le nombre $\sin \frac{\pi }{9}=\sin 20^{\circ }=\cos \frac{7\pi }{18}=\cos 70^{\circ }$ a pour développement décimal : $0,342020143...$ , Modèle:OEIS.

Constructibilité

Le nombre $\cos \frac{\pi }{9}$ n'est pas constructible (on peut déduire ce cas particulier du théorème de Gauss-Wantzel, en utilisant le théorème de Wantzel et l'équation de degré 3 ci-dessous), ce qui revient à dire qu'il n'existe pas de construction à la règle et au compas de l'ennéagone régulier.

Expression par radicaux

Le nombre $\cos \frac{\pi }{9}$ est exprimable par radicaux complexes : $\cos \frac{\pi }{9}=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}}+\sqrt[3]{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /3}})=\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}(\sqrt[3]{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}+\sqrt[3]{1-\mathrm{i}\sqrt{3}})$

mais n'est pas exprimable par radicaux réels. C'est le casus irreducibilis.

Polynômes minimaux

• L'équation $x^3-3x-1=0$ a pour solutions :

  $2\cos \frac{\pi }{9},-2\cos \frac{2\pi }{9},-2\cos \frac{4\pi }{9}$ ,

  ce qui montre que $\cos \frac{\pi }{9}$ est la moitié d'un entier algébrique.

• L'équation $x^3-9x+9=0$ a pour solutions :

$2\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{9},2\sqrt{3}\sin \frac{2\pi }{9},-2\sqrt{3}\sin \frac{4\pi }{9}$ , ce qui montre que $\sin \frac{\pi }{9}$ est le quotient d'un entier algébrique par $2\sqrt{3}$.

Démonstration succincte

En utilisant les polynômes de Tchebychev et en factorisant on obtient $\sin 9t=x(4x^2-3)(64x^6-96x^4+36x^2-3)$ où $x=\sin t$. En changeant $x$ en $x/(2\sqrt{3})$ dans $64x^6-96x^4+36x^2-3$, on obtient $(x^6-18x^4+81x^2-81)/27$,

et $x^6-18x^4+81x^2-81$ se factorise bien en $(x^3-9x-9)(x^3-9x+9)$.

• L'équation $x^3-9x^2-9x+9=0$ a pour solutions :

$\sqrt{3}\tan \frac{\pi }{9},-\sqrt{3}\tan \frac{2\pi }{9},\sqrt{3}\tan \frac{4\pi }{9}$ , ce qui montre que $\tan \frac{\pi }{9}$ est le quotient d'un entier algébrique par $\sqrt{3}$ .

Formules homogènes

On en déduit les fonctions symétriques élémentaires associées aux solutions des équations précédentes :

• $\{\begin{array}{c}\cos \frac{\pi }{9}-\cos \frac{2\pi }{9}-\cos \frac{4\pi }{9}=0\\ \cos \frac{\pi }{9}\cos \frac{2\pi }{9}\cos \frac{4\pi }{9}=\frac{1}{8}\\ \cos \frac{\pi }{9}\cos \frac{2\pi }{9}+\cos \frac{\pi }{9}\cos \frac{4\pi }{9}-\cos \frac{2\pi }{9}\cos \frac{4\pi }{9}=\frac{3}{4}\end{array}$

La deuxième relation, qui s'écrit aussi $\cos (20^{\circ })\cos (40^{\circ })\cos (80^{\circ })=\frac{1}{8}$, s'appelle la première loi de Morrie.

• $\{\begin{array}{c}\sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{2\pi }{9}-\sin \frac{4\pi }{9}=0\\ \sin \frac{\pi }{9}\sin \frac{2\pi }{9}\sin \frac{4\pi }{9}=\frac{\sqrt{3}}{8}\\ \sin \frac{\pi }{9}\sin \frac{2\pi }{9}-\sin \frac{\pi }{9}\sin \frac{4\pi }{9}-\sin \frac{2\pi }{9}\sin \frac{4\pi }{9}=-\frac{3}{4}\end{array}$

La deuxième relation, qui s'écrit aussi $\sin (20^{\circ })\sin (40^{\circ })\sin (80^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{8}$, s'appelle la deuxième loi de Morrie.

• $\{\begin{array}{c}\tan \frac{\pi }{9}-\tan \frac{2\pi }{9}+\tan \frac{4\pi }{9}=3\sqrt{3}\\ \tan \frac{\pi }{9}\tan \frac{2\pi }{9}\tan \frac{4\pi }{9}=\sqrt{3}\\ \tan \frac{\pi }{9}\tan \frac{2\pi }{9}-\tan \frac{\pi }{9}\tan \frac{4\pi }{9}+\tan \frac{2\pi }{9}\tan \frac{4\pi }{9}=3\end{array}$

Liens externes

• Modèle:MathWorld

Voir aussi

• Formules trigonométriques en kπ/7
• Polynômes minimaux des valeurs spéciales trigonométriques
• Identités trigonométriques