Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques

Dans le polygone régulier convexe à n côtés, l'angle au centre est de mesure 2a avec a = Modèle:Math/n.

En mathématiques, et plus précisément en algèbre, on peut chercher à calculer le polynôme minimal d'un nombre de la forme Modèle:Math, Modèle:Math ou Modèle:Math avec Modèle:Mvar rationnel, que nous appelons dans cet article une « valeur spéciale trigonométrique ».

Le polynôme minimal d'un nombre algébrique Modèle:Mvar est le polynôme unitaire à coefficients rationnels de plus petit degré dont Modèle:Mvar est racine.

Les mesures d'angles de la forme Modèle:Math se rencontrent dans de nombreux problèmes géométriques ; en particulier, les mesures d'angles de la forme $\frac{2\pi }{n}$ (pour tout entier Modèle:Math) correspondent aux angles au centre des polygones réguliers convexes.

Approche intuitive

Pour établir que $\cos (30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$, on peut s'aider d'un triangle équilatéral.

Lorsque l'on apprend la trigonométrie, on constate vite que le cosinus et le sinus des mesures de certains angles ont une forme particulière, qui fait intervenir des racines carrées. Ainsi, pour un angle de mesure 30 degrés, soit Modèle:Math radians, le théorème de Pythagore permet de démontrer que :

$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Cela revient à dire que Modèle:Math est une des solutions de l'équation $x^2-\frac{3}{4}=0$. L'autre solution de cette équation est Modèle:Math, qui est aussi de la forme Modèle:Math.

L'équation $x^2-\frac{3}{4}=0$ est polynomiale : elle s'exprime sous la forme Modèle:Math, où Modèle:Mvar est un polynôme. Comme Modèle:Mvar est à coefficients rationnels, ses racines sont des nombres algébriques. De plus, Modèle:Mvar est unitaire, c'est-à-dire que son coefficient dominant vaut 1, et irréductible sur $\mathbb{Q}$, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être factorisé en un produit de polynômes à coefficients rationnels. Modèle:Mvar est donc de degré minimal parmi les polynômes à coefficients rationnels qui s'annulent en Modèle:Math : c'est son polynôme minimal.

Les questions qui viennent naturellement sont :

• quelle est la façon la plus pertinente d'écrire un multiple rationnel de Modèle:Math ?
  La réponse est :
  • $\frac{2k\pi }{n}$ si l'on s'intéresse à son cosinus,
  • $\frac{k\pi }{n}$ si l'on s'intéresse à son sinus ou à sa tangente ;
• son cosinus, son sinus et sa tangente sont-ils algébriques ?
  La réponse est oui ;
• peut-on toujours les exprimer à l'aide de racines carrées ?
  La réponse est cette fois non ;
• peut-on tout du moins toujours les exprimer à l'aide de racines n-ièmes ?
  La réponse est oui si l'on s'autorise à travailler dans les nombres complexes ;
• comment trouve-t-on les polynômes minimaux de ces nombres ?

On verra aussi que l'on peut réduire le degré de ces polynômes, quitte à ne plus travailler seulement avec des polynômes à coefficients rationnels.

Nature algébrique des valeurs spéciales trigonométriques

Le théorème

Cette démonstration est courte mais utilise principalement le fait que l'ensemble des nombres algébriques est stable par somme et produit, ce qui est difficile à démontrer. On peut lui préférer une preuve utilisant des outils plus élémentaires Modèle:Infra.

Degré algébrique

Le degré d'un nombre algébrique est le degré de son polynôme minimal. Derrick Lehmer a calculé le degré de Modèle:MathModèle:,Modèle:, :

si Modèle:Math et Modèle:Mvar sont premiers entre eux,

• le degré de Modèle:Math vaut Modèle:Math,

où Modèle:Mvar est la fonction indicatrice d'Euler. La démonstration utilise simplement l'irréductibilité du Modèle:Mvar-ième polynôme cyclotomique Modèle:Infra.

Grâce à l'identité trigonométrique $\sin \theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$, on en déduit facilement que

• le degré de Modèle:Math vaut :
  • Modèle:Math n'est pas divisible par 4 ;
  • Modèle:Math si n est un multiple impair de 4;
  • Modèle:Math sinon, i.e. si n est un multiple de 8.

Quant au degré de Modèle:Math, si Modèle:Math et Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont premiers entre eux, il vautModèle:, :

• Modèle:Math si Modèle:Mvar est divisible par 4 ;
• Modèle:Math sinon.

Rationalité

Les rationnels étant les nombres algébriques de degré 1, un corollaireModèle:, de la section précédente est que pour les angles multiples rationnels de Modèle:Math, les seules valeurs rationnelles des fonctions trigonométriques usuelles sont :

• pour Modèle:Math et Modèle:Math : Modèle:Math, Modèle:MathModèle:Sfrac et Modèle:Math ;
• pour Modèle:Math : Modèle:Math et Modèle:Math.

Expression des valeurs spéciales trigonométriques à l'aide de radicaux

Expression avec des racines carrées

Le polygone régulier à Modèle:Mvar sommets est constructible (à la règle et au compas) si et seulement si Modèle:Math est une puissance de 2. En effet, son angle au centre est $\frac{2\pi }{n}$, or un corollaire du théorème de Wantzel affirme que si un nombre est constructible alors son degré est une puissance de Modèle:Math, et la réciproque est fausse en général mais vraie pour les « valeurs spéciales trigonométriques ».

Gauss a donné dès 1796 (sous une forme plus explicite) cette condition suffisante sur l'entier Modèle:Mvar pour que le polygone régulier à Modèle:Mvar sommets soit constructible, affirmant qu'elle est aussi nécessaire, ce que Wantzel a confirmé : c'est le théorème de Gauss-Wantzel.

Par exemple, l'heptagone régulier, l'ennéagone régulier et le hendécagone régulier ne sont pas constructibles car Modèle:Math et Modèle:Math, tandis que pour les autres valeurs de Modèle:Mvar de Modèle:Math à Modèle:Math, le Modèle:Mvar-gone régulier est constructible, comme l'explicite le tableau suivant (pour plus de valeurs de Modèle:Mvar, voir [[Indicatrice d'Euler#Les 99 premières valeurs de la fonction φ|cette table pour Modèle:Math]] et cet article pour les valeurs spéciales trigonométriques exprimables avec des racines carrées).

Modèle:Mvar	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math
12	4	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$	$2-\sqrt{3}$
10	4	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$
8	4	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}-1$
6	2	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
5	4	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$
4	2	$0$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$1$
3	2	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\sqrt{3}$

Expression avec des racines n-ièmes

Le polynôme minimal de Modèle:Math est Modèle:Math, dont les deux autres racines sont Modèle:Math et Modèle:Math. Comme ces trois racines sont réelles, on est dans le casus irreducibilis, qui ne peut justement se résoudre dans les nombres réels qu'en repassant par la trigonométrie. Cela explique qu'on ne trouvera jamais une expression de Modèle:Math avec des racines carrées ou cubiques réelles dans un formulaire de trigonométrie : on ne peut qu'en donner une valeur approchée, ou indiquer son polynôme minimal, dont il est la seule racine positive.

Pourtant, une expression par radicaux de Modèle:Math existe, à condition d'autoriser l'emploi de racines carrées et cubiques de nombres complexes ; cette expression est donnée par la méthode de Cardan :

$\cos \frac{2\pi }{7}=\frac{1}{6}(\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt{-3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21\sqrt{-3}}{2}}-1)$.

[[Table de lignes trigonométriques exactes#Tables de valeurs|Il en va de même pour Modèle:Math]], lui aussi algébrique de degré 3.

Qu'en est-il pour les polynômes de degré plus élevé encore ? Abel et Galois ont montré qu'il est impossible d'exprimer en général les racines d'un polynôme de degré 5 ou plus par radicaux. Nous avons vu cependant, dans la section précédente, que certaines valeurs de Modèle:Math, de degrés aussi grands qu'on veut, s'expriment par racines carrées donc par radicaux (voir par exemple l'[[Table de lignes trigonométriques exactes#Division d'un angle en deux|expression de Modèle:Math]], de degré Modèle:Math).

En fait, Modèle:Math possède toujours une expression par radicaux (de nombres complexes)Modèle:,, puisque le groupe de Galois de son polynôme minimal est abélien donc résoluble (il est isomorphe à [[Anneau ℤ/nℤ#Groupe des unités|(ℤ/nℤ)Modèle:Exp]]/{1, –1}, comme quotient du groupe de Galois de la Modèle:Mvar-ième extension cyclotomique par le sous-groupe d'ordre 2 engendré par la conjugaison). Plus simplement, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math (avec Modèle:Mvar rationnel) peuvent toujours s'exprimer trivialement par radicaux (complexes), puisque ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}r\pi }$ est une racine de l'unité.

Polynômes à coefficients non rationnels

Considérons les quatre réels Modèle:Math (pour Modèle:Mvar premier avec Modèle:Math), de degré Modèle:Math. On les calcule facilement :

$\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\cos \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\cos \frac{7\pi }{12}=-\cos \frac{5\pi }{12},\cos \frac{11\pi }{12}=-\cos \frac{\pi }{12}$.

Modèle:Math est par conséquent racine des trois polynômes suivants, du second degré, à coefficients fatalement non tous rationnels :

• $(X-\cos \frac{\pi }{12})(X-\cos \frac{5\pi }{12})=X^2-\frac{\sqrt{6}}{2}X+\frac{1}{4}=P_1(\sqrt{6},X)$ ;
• $(X-\cos \frac{\pi }{12})(X-\cos \frac{7\pi }{12})=X^2-\frac{\sqrt{2}}{2}X-\frac{1}{4}=P_2(\sqrt{2},X)$ ;
• $(X-\cos \frac{\pi }{12})(X-\cos \frac{11\pi }{12})=X^2-\frac{2+\sqrt{3}}{4}=P_3(\sqrt{3},X)$ ;

et le polynôme minimal Modèle:Mvar peut se factoriser de trois façons :

$P(X)=P_1(\sqrt{6},X)P_1(-\sqrt{6},X)=P_2(\sqrt{2},X)P_2(-\sqrt{2},X)=P_3(\sqrt{3},X)P_3(-\sqrt{3},X)$.

Les six facteurs du second degré sont à coefficients dans un corps quadratique $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ (Modèle:Mvar égal à 6, 2 ou 3), c'est-à-dire la forme Modèle:Math, avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar rationnels.

On trouve trois factorisations parce que le groupe de Galois de Modèle:Mvar, (ℤ/24ℤ)Modèle:Exp/{1, –1}, est isomorphe à (ℤ/8ℤ)Modèle:Exp donc au groupe de Klein, qui a trois sous-groupes d'indice 2.

Dans le cas général Modèle:Math (avec Modèle:Math et Modèle:Mvar et Modèle:Mvar premiers entre eux), on trouvera au moins une factorisation de ce type (produit de deux polynômes à coefficients dans un même corps quadratique et de degré Modèle:Math) si (et seulement si) Modèle:Math est divisible par 4. Il n'y en aura qu'une si (ℤ/nℤ)Modèle:Exp/{1, –1} est cyclique.

Calculer le polynôme minimal à coefficients rationnels

Quelques polynômes annulateurs

Pour tout rationnel Modèle:Mvar, il est facile de trouver un polynôme annulateur de Modèle:Math, Modèle:Math ou Modèle:Math.

Pour Modèle:Math, on déduit de la formule de Moivre que $\cos (nt)=\mathrm{\Re }((\cos t+\mathrm{i}\sin t{)}^n)=T_n(\cos t)$, où Modèle:Mvar est un polynôme de degré Modèle:Mvar à coefficients entiers (le Modèle:Mvar-ième polynôme de Tchebychev de première espèce). Or pour Modèle:Math, Modèle:Math donc Modèle:Math est racine du polynôme Modèle:Math.

On en déduit facilement des polynômes annulateurs de degré Modèle:Math pour Modèle:Math et Modèle:Math, grâce aux formules de l'angle double :

$\cos (2\theta )=1-2{\sin }^2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$.

Cette seconde démonstration de l'algébricité des « valeurs spéciales trigonométriques » est constructive, car elle fournit une expression d'un polynôme annulateur, c'est-à-dire d'un polynôme Modèle:Mvar tel que Modèle:Math pour Modèle:Math, Modèle:Math ou Modèle:Math. Mais vu leurs degrés, les polynômes trouvés par cette méthode ne sont pas minimaux si Modèle:Math Modèle:Supra.

On peut souvent construire des polynômes annulateurs de degrés plus petits. Par exemple si Modèle:Mvar est impair, Modèle:Math, on a :

• pour $x=\cos \frac{2k\pi }{n}\ne 1$ : $1+2\sum _{i=1}^m{T}_i(x)=0$ ;
• donc pour $y=\sin \frac{k\pi }{n}\ne 0$ : $1+2\sum _{i=1}^m{T}_i(1-2y^2)=0$ ;
• et pour $z=\tan \frac{k\pi }{n}\ne 0$ : $1+2\sum _{i=1}^m{T}_i\left(\frac{1-z^2}{1+z^2}\right)=0$,

ce qui fournit des polynômes annulateurs :

• pour Modèle:Mvar : de degré Modèle:Sfrac,
• pour Modèle:Mvar et Modèle:Mvar : de degré Modèle:Math.

Si Modèle:Mvar est premier, ils sont même de degré minimum, par identification directe (voir section suivante) ou simplement vu leurs degrés Modèle:Supra.

Polynôme minimal de Modèle:Math

La méthode de Lehmer Modèle:Supra permet de calculer les polynômes minimaux des Modèle:Math (pour Modèle:Mvar et Modèle:Mvar premiers entre eux) et d'en déduire ceux des Modèle:Math. Nous la présentons ici uniquement dans le cas des cosinus, sur l'exemple Modèle:Math.

Soit Modèle:Math le Modèle:15e polynôme cyclotomique usuel :

${\mathrm{\Phi }}_{15}(z)=z^8-z^7+z^5-z^4+z^3-z+1$.

Modèle:Math est de degré $\phi (15)=8$. On multiplie Modèle:Math par $z^{-\frac{8}{2}}$ :

$z^{-4}{\mathrm{\Phi }}_{15}(z)=(z^4+z^{-4})-(z^3+z^{-3})+(z+z^{-1})-1$.

On obtient un nouveau polynôme Modèle:Math à coefficients entiers en $t=z+z^{-1}$, d'après le calcul fourni par les polynômes de Tchebychev :

$z^{-4}{\mathrm{\Phi }}_{15}(z)={\mathrm{\Theta }}_{15}(t)=2[T_4(t/2)-T_3(t/2)+T_1(t/2)]-1=(t^4-4t^2+2)-(t^3-3t)+t-1=t^4-t^3-4t^2+4t+1$.

Cela a fonctionné parce que les polynômes cyclotomiques sont polynômes palindromiques, c'est-à-dire dont les coefficients sont identiques, qu'on les lise dans l'ordre des termes de degré croissant ou décroissant.

Pour $z={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi }{n}}$, on a $z+z^{-1}=2\cos (2k\pi /n)$. Or par définition, le polynôme cyclotomique Modèle:Math a justement pour racines les complexes ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi }{n}}$ avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar premiers entre eux. Le nombre Modèle:Math est donc racine de :

${\mathrm{\Theta }}_{15}(2x)=16x^4-8x^3-16x^2+8x+1$.

De plus, puisque Modèle:Math est irréductible sur $\mathbb{Q}$, Modèle:Math l'est aussi.

On en déduit le polynôme minimal commun à Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math :

$P(x)=\frac{1}{16}{\mathrm{\Theta }}_{15}(2x)=x^4-\frac{1}{2}{x}^3-x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}$.

Listes de polynômes minimaux

Voici une liste des premiers polynômes minimaux de Modèle:MathModèle:,, Modèle:MathModèle:, et Modèle:MathModèle:, pour $n\ge 3$ :

Modèle:Mvar	$\phi (n)$	Polynôme minimal Modèle:Mvar de Modèle:Math	Polynôme minimal de Modèle:Math	Polynôme minimal de Modèle:Math
12	4	$\frac{1}{2}{C}_6(2X^2-1)=X^2-\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}{C}_{12}(2X^2-1)=C_{24}=X^4-X^2+\frac{1}{16}$	$X^2-4X+1$
11	10	$X^5+\frac{1}{2}{X}^4-X^3-\frac{3}{8}{X}^2+\frac{3}{16}X+\frac{1}{32}$	$-\frac{1}{32}{C}_{11}(1-2X^2)=C_{44}=$ $X^{10}-\frac{11}{4}{X}^8+\frac{11}{4}{X}^6-\frac{77}{64}{X}^4+\frac{55}{256}{X}^2-\frac{11}{1024}$	$X^{10}-55X^8+330X^6-462X^4+165X^2-11$
10	4	$C_5(-X)=X^2-\frac{1}{2}X-\frac{1}{4}$	$C_5$	$X^4-2X^2+\frac{1}{5}$
9	6	$X^3-\frac{3}{4}X+\frac{1}{8}$	$-\frac{1}{8}{C}_9(1-2X^2)=C_{36}=X^6-\frac{3}{2}{X}^4+\frac{9}{16}{X}^2-\frac{3}{64}$	$X^6-33X^4+27X^2-3$
8	4	$\frac{1}{2}{C}_4(2X^2-1)=X^2-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}{C}_8(2X^2-1)=C_{16}=X^4-X^2+\frac{1}{8}$	$X^2+2X-1$
7	6	$X^3+\frac{1}{2}{X}^2-\frac{1}{2}X-\frac{1}{8}$	$-\frac{1}{8}{C}_7(1-2X^2)=C_{28}=X^6-\frac{7}{4}{X}^4+\frac{7}{8}{X}^2-\frac{7}{64}$	$X^6-5X^4+3X^2-1$
6	2	$-C_3(-X)=X-\frac{1}{2}$	$C_6$	$X^2-\frac{1}{3}$
5	4	$X^2+\frac{1}{2}X-\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}{C}_5(1-2X^2)=C_{20}=X^4-\frac{5}{4}{X}^2+\frac{5}{16}$	$X^4-10X^2+5$
4	2	$X$	$C_8$	$X-1$
3	2	$X+\frac{1}{2}$	$C_{12}$	$-2(1+X^2)C_3\left(\frac{1-X^2}{1+X^2}\right)=X^2-3$

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:En Peter Brown, The circle dividers, Parabola, vol. 36, Modèle:N°, 2000
• Modèle:Article (preprint)
• Modèle:Article

Articles connexes

• Table de lignes trigonométriques exactes
• Formules trigonométriques en kπ/7
• Noyau de Dirichlet