Polynôme réciproque

En mathématiques, le polynôme réciproque d'un polynôme à coefficients complexes

$P(X)=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\dots +a_n{X}^n$

est le polynôme P* défini par :

$P^{*}(X)={\bar{a}}_n+{\bar{a}}_{n-1}X+\dots +{\bar{a}}_0{X}^n,$

où $\bar{a}$ désigne le conjugué de $a$. Pour tout nombre complexe z non nul, on a donc :

$P^{*}(z)=z^n\overline{P({\overline{z}}^{-1})}.$

Un polynôme est dit réciproque lorsqu'il est égal à son polynôme réciproque.

Si les coefficients a_i sont réels, cette définition équivaut à a_i = a_n−i. Dans ce cas, P est aussi appelé un Modèle:Lien.

Le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}$ d'un nombre algébrique de module 1 est égal ou opposé à son polynôme réciproque. Modèle:Démonstration Une conséquence est que les polynômes cyclotomiques Φ_n sont palindromiques pour n > 1 ; ceci est utilisé dans le crible sur les corps de nombres particuliers pour factoriser des nombres de la forme x¹¹ ± 1, x¹³ ± 1, x¹⁵ ± 1 et x²¹ ± 1 en profitant des facteurs polynomiaux de degrés respectifs 5, 6, 4 et 6 - remarquons que l'indicatrice d'Euler des exposants vaut 10, 12, 8 et 12.

L'application P ↦ PModèle:Exp est une involution :

${\left(P^{*}\right)}^{*}=P.$

Réduction

Modèle:Section travail inédit L'application qui à un polynôme P associe son polynôme aux inverses est diagonalisable, et de valeurs propres 1 et -1 (il suffit de vérifier que le polynôme XModèle:2 - 1 l'annule). En particulier, si le degré de P est pair, la dimension des deux sous-espaces propres de l'involution est identique, égale à n/2. Si le degré de P est impair, en notant n = 2p + 1, alors :

$\dim E_{+1}(*)=p+1\text{et}\dim E_{-1}(*)=p.$

Références

Émile Durand (1961) Solutions numériques des équations algrébriques I, Masson et Cie: XV - polynômes dont les coefficients sont symétriques ou antisymétriques, p. 140-141.Modèle:Portail