Polynôme minimal (théorie des corps)

Carl Friedrich Gauss utilise des polynômes minimaux appelés cyclotomiques pour déterminer les polygones constructibles à la règle et au compas.

En théorie des corps, le polynôme minimal sur un corps commutatif K d'un élément algébrique d'une extension de K, est le polynôme unitaire de degré minimal parmi les polynômes à coefficients dans le corps de base K qui annulent l'élément. Il divise tous ces polynômes. C'est toujours un polynôme irréductible. Dans le cas d'une extension du corps des rationnels (en particulier d'un corps de nombres), on parle de nombre algébrique et donc de polynôme minimal d'un nombre algébrique.

C'est une notion élémentaire utile aussi bien en théorie classique de Galois qu'en théorie algébrique des nombres. Ainsi dans une extension du corps K où le polynôme minimal de a est scindé, les éléments conjugués de a sont toutes les racines de son polynôme minimal, et les automorphismes de corps d'une telle extension (qui forment le groupe de Galois de celle-ci) laissant stable K associent nécessairement à a un de ses éléments conjugués.

Une extension de K est aussi une algèbre associative sur K, et il est possible de définir plus généralement le polynôme minimal dans ce cadre, qui recouvre aussi l'algèbre linéaire et les endomorphismes d'un espace vectoriel sur K. Le polynôme minimal d'un élément algébrique a sur K est d'ailleurs également, du point de vue de l'algèbre linéaire, le polynôme minimal de l'endomorphisme Modèle:Math de l'extension vu comme K-espace vectoriel. D'autres outils de la théorie des corps, comme la trace, la norme, le polynôme caractéristique d'un élément algébrique, peuvent se définir à partir de cet endomorphisme et entretiennent les mêmes liens avec le polynôme minimal que leurs correspondants en algèbre linéaire.

Définitions

Ici K désigne un corps et L une extension de K, c'est-à-dire un corps contenant K.

Un élément a algébrique de L sur K est un élément de L racine d'un polynôme non nul à coefficients dans K. Étant donné deux polynômes qui ont a pour racine, le reste par la division euclidienne de l'un par l'autre a encore a pour racine. Par conséquent les polynômes de degré minimal qui ont pour racine a sont proportionnels, et un tel polynôme divise tous les polynômes qui annulent a.

Un tel polynôme est également irréductible, car si le produit de deux polynômes (à coefficients dans un corps) s'annule sur a, l'un des deux s'annule (un corps est en particulier intègre). On a unicité en choisissant ce polynôme unitaire, c'est-à-dire que le coefficient du terme de plus haut degré est égal à 1.

On peut donc définir le polynôme minimal de a, élément algébrique de L sur K :

• le polynôme minimal de a sur K est le polynôme unitaire de plus bas degré à coefficients dans K admettant a pour racine ;
• le polynôme minimal de a sur K est aussi l'unique polynôme unitaire irréductible à coefficients dans K qui admet a pour racine ;
• le polynôme minimal de a sur K est également l'unique polynôme unitaire à coefficients dans K qui admet a pour racine, et qui divise tous les polynômes qui ont pour racine a.

Dit autrement, l'anneau K[X] des polynômes sur K est un anneau euclidien donc principal. L'idéal des polynômes qui ont pour racine a est principal et donc :

• le polynôme minimal de a sur K est l'unique polynôme unitaire qui engendre l'idéal des polynômes de K[X] qui annulent a.

Comme a est algébrique, K(a), le plus petit sous-corps de L contenant K et a, est l'anneau K[a], et il est isomorphe au corps de rupture K[X]/(P) du polynôme minimal P de a, c'est-à-dire que la structure de K(a) est déterminée par le polynôme minimal de a. Le degré de a, qui est le degré de l'extension K(a) de K, est également le degré du polynôme minimal de a.

Exemples

Les lettres ℂ, ℝ et ℚ désignent respectivement les corps des complexes, réels et rationnels.

• Tout élément k du sous-corps K est algébrique sur K, de polynôme minimal X – k.
• Tout nombre complexe non réel a + Modèle:Mathb (avec a et b réels et b non nul) est algébrique sur ℝ, de polynôme minimal XModèle:2 – 2a X + aModèle:2 + bModèle:2.
• L'unité imaginaire Modèle:Math a même polynôme minimal sur ℝ et ℚ, à savoir X² + 1.
• La racine carrée de deux, Modèle:Racine, est un nombre algébrique de polynôme minimal X² – 2 sur ℚ (différent de son polynôme minimal sur ℝ qui est X – Modèle:Racine).
• Le nombre algébrique Modèle:Racine + Modèle:Racine a pour polynôme minimal (sur ℚ) X⁴ − 10X² + 1 = (X - Modèle:Racine - Modèle:Racine)(X - Modèle:Racine + Modèle:Racine)(X + Modèle:Racine + Modèle:Racine)(X + Modèle:Racine - Modèle:Racine) (la minimalité découle de ce que le produit de deux de ses facteurs n'est pas dans ℚ[X], les racines du polynôme étant opposées 2 par 2).
• Les nombres transcendants (non-algébriques), comme Modèle:Math (théorème de Lindemann) n'ont donc pas de polynôme minimal sur ℚ.
• Si le polynôme unitaire P est irréductible sur K, il est le polynôme minimal de l'élément de son corps de rupture K[X]/(P) qui est la classe de X modulo P.
• Par exemple, 𝔽₂ étant le corps fini à 2 éléments, le polynôme X² + X + 1 de 𝔽₂[X] est irréductible ; en notant 𝔽₄ son corps de rupture (le corps fini à 4 éléments) et Modèle:Math la classe de X modulo ce polynôme, alors X² + X + 1 est le polynôme minimal de Modèle:Math, et également de Modèle:Math+1.
• Le n-ième polynôme cyclotomique Φ_n est unitaire et irréductible dans ℚ[X] : c'est le polynôme minimal sur ℚ de chacune de ses racines, les racines primitives n-ièmes de l'unité e^2ikπ/n, k premier avec n.
• Un entier algébrique est par définition un nombre algébrique dont le polynôme minimal est à coefficients entiers.

Théorie des corps

Propriétés élémentaires

Modèle:Article détaillé Ici K est un corps, L une extension de K et m un élément de L.

Dans l'article « Corps de rupture », en utilisant que l'anneau K[X] est euclidien donc principal, on démontre :

• Soit P un polynôme irréductible et unitaire de K[X], alors il existe une extension de K, de degré égal au degré de P, contenant un élément dont P est le polynôme minimal.

Les propriétés suivantes sont démontrées dans l'article détaillé.

• Si m est algébrique sur K et si son polynôme minimal est de degré n, alors toute extension contenant m est de degré infini ou multiple de n et la plus petite est de degré n.
  Cette propriété permet par exemple de démontrer que la trisection de l'angle ou la duplication du cube est en général impossible à la règle et au compas (cf. l'article « Tour d'extensions quadratiques »).
• Si m est algébrique sur une extension finie de K, alors m est algébrique sur K.
• Si mModèle:Ind et mModèle:Ind sont algébriques sur K, alors mModèle:Ind mModèle:Ind et mModèle:Ind + mModèle:Ind le sont aussi, et mModèle:IndModèle:Exp l'est aussi si mModèle:Ind est non nul.

Extension séparable

Modèle:Article détaillé Un élément algébrique sur K est dit séparable (sur K) si toutes les racines de son polynôme minimal sur K, dans une extension où ce polynôme est scindé, sont simples.

Une extension algébrique de K est dite séparable si tous ses éléments le sont. C'est toujours le cas si K est parfait, par exemple si K est fini ou de caractéristique nulle.

Les extensions séparables possèdent des propriétés importantes, comme le théorème de l'élément primitif :

• Toute extension finie séparable est simple,

c'est-à-dire qu'elle contient un élément qui engendre l'extension, ou encore, dont le polynôme minimal est de degré égal au degré de l'extension.

Outils issus de l'algèbre linéaire

Dans tout ce paragraphe, on suppose que L est une extension finie de K et pour tout élément m de L, on note φModèle:Ind l'endomorphisme du K-espace vectoriel L qui à x associe mx.

Le [[polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal de φModèle:Ind]] est aussi le polynôme minimal de m, puisque pour tout polynôme Q de K[X], Q(φModèle:Ind) = φModèle:Ind.

On appelle polynôme de caractéristique de m relativement à l'extension L de K, le polynôme caractéristique de l'endomorphisme φModèle:Ind.

De la même façon, par définition, la norme de m relativement à l'extension L de K, est le déterminant de φModèle:Ind, et la trace de m relativement à l'extension L de K est la trace de l'endomorphisme φ_m.

Même si ces trois notions dépendent non seulement de m mais de L (et de K), quand le contexte est clair, on parle simplement du polynôme caractéristique, de la norme, et de la trace de m.

Dans la suite le polynôme minimal de m est noté PModèle:Ind, et son polynôme caractéristique χModèle:Ind.

Polynôme caractéristique

Soit ψModèle:Ind la restriction de φModèle:Ind à K[m], le corps de rupture PModèle:Ind, polynôme minimal de m. Si d est le degré de PModèle:Ind, le K-espace vectoriel K[m] a pour base (1, m, mModèle:2, … , mModèle:Exp), et la matrice MModèle:Ind de ψModèle:Ind dans cette base est la matrice compagnon de PModèle:Ind, dont le polynôme caractéristique est égal à PModèle:Ind.

Soit d'autre part (l₁, … , l_n) une base du K[m]-espace vectoriel L. Alors, la famille des mModèle:ExplModèle:Ind, pour i variant de 0 à d – 1 et j de 1 à n, forme une base du K-espace vectoriel L, dans laquelle la matrice MModèle:Ind de φModèle:Ind s'écrit par blocs :

$M_L=\left(\begin{array}{cccc}{M}_{K[m]}& 0& \cdots & 0\\ 0& M_{K[m]}& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& M_{K[m]}\end{array}\right)$

Le polynôme caractéristique χModèle:Ind de m relativement à l'extension L de K est alors une puissance du polynôme minimal PModèle:Ind :

• si L est de degré n sur K[m], alors :

${\chi }_m(X)=(P_m(X){)}^n$

(on obtient ainsi le théorème de Cayley-Hamilton dans ce cas très particulier).

Norme

Modèle:Article détaillé La norme de m relativement à l'extension L de K est en général notée NModèle:Ind(m). Par définition, c'est un élément de K, égal au coefficient constant du polynôme caractéristique de m au signe éventuellement près (multiplié par (-1)ⁿ). C'est aussi le produit des racines de χModèle:Ind (comptées avec leurs multiplicités, et dans une extension où χModèle:Ind est scindé).

Quand φModèle:Ind est définie sur l'extension K[m], son polynôme minimal est le polynôme minimal de m et donc :

• la norme d'un élément m relativement à l'extension K[m] est le produit des racines de son polynôme minimal.

Étant donné l'expression du polynôme caractéristique en fonction du polynôme minimal ci-dessus on a:

• si L est de degré n sur K[m], la norme de m relativement à l'extension L de K est égale à la norme m relativement à l'extension K[m] à la puissance n, donc au produit des puissances n-ièmes des éléments conjugués de m.

Trace

Modèle:Article détaillé La trace est de m relativement à l'extension L de K est souvent notée TrModèle:Ind(m). C'est, comme la norme, un élément de K, opposé au coefficient sous-dominant de χModèle:Ind qui, dans le cas particulier L = K[m], n'est autre que le polynôme minimal de m.

L'application qui à deux éléments a et b de L associe la trace de ab est appelée forme trace. Elle joue un rôle important en théorie algébrique des nombres, par exemple pour définir le discriminant.

Analogue du polynôme minimal pour les variétés algébriques sur les anneaux factoriels

Supposons que R est un anneau factoriel dont le corps des fractions est K, et que XModèle:Ind, XModèle:Ind, ..., XModèle:Ind sont n variables indépendantes.

Pratiquement, ce théorème se traduit de la façon suivante : si xModèle:Ind, xModèle:Ind, … , xModèle:Ind sont algébriquement indépendants, et si xModèle:Ind est tel qu'il existe un polynôme Q à coefficients dans R vérifiant Q(xModèle:Ind, … , xModèle:Ind, xModèle:Ind) = 0, alors il existe un certain polynôme P à coefficients dans R, unique à la multiplication près par une unité de R, s'annulant en (xModèle:Ind, xModèle:Ind, … , xModèle:Ind), et tel que tout autre polynôme à coefficients dans R s'annulant en ce point est divisible par P dans R[XModèle:Ind, XModèle:Ind, ..., XModèle:Ind].

Dans le cas où n = 1, le degré de transcendance de xModèle:Ind est 0 et l'on obtient la proposition suivante :

On voit d'ailleurs que ce polynôme ne peut être que le polynôme minimal Q de x sur K, multiplié par le plus petit commun multiple des dénominateurs des coefficients de Q, de façon à le rendre primitif.

Notes et références

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Lang1

Galois

• Modèle:Douady1
• Modèle:En Emil Artin, Galois Theory, Notre Dame Press, Londres, 1971
• Modèle:En Jörg Bewersdorff, Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective, AMS, 2006

Arithmétique

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Samuel1
• Modèle:Serre1

Voir aussi

Article connexe

Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques, un cas particulier de polynôme minimal d'un nombre algébrique

Liens externes

Galois

• Le théorème fondamental de la théorie de Galois par B. le Stum, université de Rennes 1, 2001
• Un cours de DEA sur la théorie de Galois par A. Kraus, université Paris VI, 1998
• Trace, formes quadratiques et extensions de corps par Y. Coudene, université de Rennes 1, 2003

Arithmétique

• Modèle:Ouvrage
• Eugène Cahen, « Sur l'arithmétique du corps de tous les nombres algébriques », dans Bull. SMF, vol. 56, 1928, Modèle:P.