Forme trace

Modèle:Voir homonymes En mathématiques la forme trace est un concept associé à la théorie de Galois et à la théorie algébrique des nombres.

Si L est une extension finie d'un corps commutatif K, la forme trace est la forme bilinéaire symétrique sur le K-espace vectoriel L, qui fait correspondre au couple Modèle:Nobr la trace de l'application linéaire Modèle:Nobr, de L dans L.

Dans le cas d'un anneau d'entiers algébriques d'un corps de nombres (c'est-à-dire d'une extension finie du corps ℚ des rationnels), la forme trace possède une propriété remarquable : son déterminant ne dépend pas de la base choisie. Cette propriété permet de définir le discriminant d'un tel anneau.

La forme trace, à travers la notion de discriminant, permet d'établir des démonstrations d'arithmétique comme la finitude du groupe des classes d'idéaux ou le théorème des unités de Dirichlet.

Définition et exemple

Définition 1

Ici, K est un corps commutatif, L une extension finie, α un élément de L et φModèle:Ind l'endomorphisme du K-espace vectoriel L qui, à x, associe αx.

• La trace de L sur K de l'élément α est la trace de l'endomorphisme φModèle:Ind. Elle est en général notée TrModèle:Ind(α).

Ceci permet de définir une forme bilinéaire symétrique sur le K-espace vectoriel L :

• La forme trace de L sur K est l'application de L × L dans K qui, à (x, y), associe la trace de xy.

Exemple 1

Le corps ℚ(Modèle:Math) des rationnels de Gauss est le corps quadratique constitué des nombres de la forme z = Modèle:Nobr, où x et y sont des rationnels et Modèle:Math l'unité imaginaire. Dans la base (1, Modèle:Math), la matrice de φModèle:Ind est :

$M_z=\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right)$

donc la trace de z (relative à l'extension) est le double de sa partie réelle.

On en déduit, si a (resp. b) est un rationnel de Gauss égal à Modèle:Nobr (resp. Modèle:Nobr) et Ψ désigne la matrice dans la base (1, Modèle:Math) de la forme trace :

${\text{Tr}}_{\mathbb{Q}(\mathrm{i})/\mathbb{Q}}(a,b)=2\text{Re}(ab)=2\alpha \gamma -2\beta \delta \text{donc}\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right).$

Propriétés de la trace

Le premier énoncé concerne le cas où L est une extension simple K(α). Les racines d'un polynôme unitaire sont considérées ici dans une extension où il est scindé, et sont répétées en cas de multiplicité (leur somme est donc l'opposé du coefficient sous-dominant de ce polynôme). Modèle:Théorème

Modèle:Démonstration/débutDe manière générale, la trace de L sur K de m est la somme des racines du polynôme caractéristique χModèle:Ind de φModèle:Ind, et si m = Q(α), alors φModèle:Ind = [[Polynôme d'endomorphisme|Q(φModèle:Ind)]] et [[Polynôme caractéristique#Propriétés|les racines de χModèle:Ind sont les images par Q de celles de χModèle:Ind]]. Or dans le cas L = K(α), χModèle:Ind n'est autre que le polynôme minimal P de α. En effet, si n est le degré de P, Modèle:Nobr est alors une base de L, dans laquelle la matrice de φModèle:Ind est la matrice compagnon de P. Modèle:Démonstration/fin

Cette première propriété permet d'établir les comportements diamétralement opposés de la forme trace, selon que l'extension est séparable (ci-dessous) ou ne l'est pas (plus loin) :

• On utilise le théorème de l'élément primitif : si L est une extension finie séparable de K alors elle est de la forme K(α) pour un certain élément α, et les λModèle:Ind de la propriété précédente ne sont autres que les σ(α). On a m = Q(α) pour un certain polynôme Q ∈ K[X] et Q(σ(α)) = σ(Q(α)) = σ(m).
• Les éléments de S sont linéairement indépendants d'après le théorème d'indépendance de Dedekind, en particulier leur somme est non nulle, c'est-à-dire – d'après le premier point – qu'il existe un élément m de L tel que TrModèle:Ind(m) soit non nul. Pour tout élément non nul x de L, il existe alors au moins un élément y de L tel que TrModèle:Ind(xy) soit non nul : y = m/x.

Alternativement, le second point se déduit immédiatement de la propriété suivante, utile par ailleurs :

Modèle:Démonstration/début Notons M = (mModèle:Ind) cette matrice et, à nouveau, λModèle:Ind, λModèle:Ind, …, λModèle:Ind les racines du polynôme minimal P de α. Alors, d'après la première propriété de cette section :

$\mathrm{\forall }i,j\in [1,n]m_{i,j}={\text{Tr}}_{K(\alpha )/K}({\alpha }^{i+j})=\sum _{k=1}^n{\lambda }_k^{i+j}=\sum _{k=1}^n{\lambda }_k^i{\lambda }_k^j\text{donc}M={}^t\mathrm{\Lambda }\mathrm{\Lambda },$

en désignant par Λ la matrice dont le terme d'indice (k, i) est égal à λModèle:IndModèle:Exp. Or Λ est une matrice de Vandermonde, si bien que

$\det \mathrm{\Lambda }=\prod _{i<j}({\lambda }_j-{\lambda }_i)\text{donc}\det M=(\det \mathrm{\Lambda }{)}^2=\prod _{i<j}({\lambda }_j-{\lambda }_i{)}^2=\mathrm{\Delta }(P).$

Le calcul immédiat de la trace d'une matrice par blocs permet d'établir : Modèle:Théorème

Grâce à la première propriété, on en déduit :

Discriminant d'un anneau

Définition 2

Dans cette partie, A désigne un anneau intègre dont le groupe additif est un ℤ-module libre de rang fini n. La définition ci-dessous s'applique aussi à tout sous-anneau (non nécessairement unifère) de A, qui est encore un ℤ-module libre, de rang fini inférieur ou égal à n.

Les matrices de changement de base de ces modules étant dans un groupe linéaire sur ℤ, leurs déterminants valent ±1. Le changement de base d'une forme bilinéaire ne modifie pas le déterminant, ce qui donne un sens à la définition suivante : Modèle:Énoncé

L'anneau OModèle:Ind des entiers algébriques d'un corps de nombres K de degré n est le prototype de cette situation (cf. § « Propriétés noethériennes » de l'article « Entier algébrique »). En notant σModèle:Ind, … , σModèle:Ind les plongements de K dans ℂ (ou dans une extension normale de K) et (bModèle:Ind, … bModèle:Ind) une ℤ-base quelconque de OModèle:Ind,

${\mathrm{\Delta }}_{O_K}=\det (B^2)\text{où}B=\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1(b_1)& {\sigma }_1(b_2)& \cdots & {\sigma }_1(b_n)\\ {\sigma }_2(b_1)& \ddots & & ⋮\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ {\sigma }_n(b_1)& \cdots & \cdots & {\sigma }_n(b_n)\end{array}\right)$

car TrModèle:Ind(bModèle:IndbModèle:Ind) = ∑Modèle:Ind σModèle:Ind(bModèle:IndbModèle:Ind) = ∑Modèle:Ind σModèle:Ind(bModèle:Ind)σModèle:Ind(bModèle:Ind) = ∑Modèle:Ind BModèle:Ind BModèle:Ind = (Modèle:ExpBB)Modèle:Ind où Modèle:ExpB désigne la transposée de la matrice B. Donc det(TrModèle:Ind(bModèle:IndbModèle:Ind)) = det(Modèle:ExpBB) = det(B)Modèle:Exp.

Exemple 2

Si d ≠ 1 est un entier sans facteur carré, l'anneau des entiers du corps quadratique K = ℚ(Modèle:Sqrt) est OModèle:Ind = ℤ[ω] avec ω = (1 + Modèle:Sqrt)/2 si d est congru à 1 modulo 4, et ω = Modèle:Racine sinon (Modèle:Sqrt désignant l'une des deux racines carrées de d, dans ℂ si d < 0). Une base de ce ℤ-module est (1, ω) donc, en notant σ(ω) l'élément conjugué de ω :

${\mathrm{\Delta }}_{\mathbb{Z}[\omega ]}={\left|\begin{array}{cc}1& \omega \\ 1& \sigma (\omega )\end{array}\right|}^2=\{\begin{array}{cc}d& \text{si }d\equiv 1(\mathrm{mod}4),\\ 4d& \text{sinon.}\end{array}$

En effet, ω – σ(ω) est égal à Modèle:Sqrt si d est congru à 1 modulo 4 et à 2Modèle:Sqrt sinon.

Pour d = –1, on trouve ainsi que le discriminant de l'anneau ℤ[[[:Modèle:Math]]] des entiers de Gauss est égal à –4, qui est bien le déterminant de la matrice Ψ de l'exemple 1 ci-dessus.

On calcule de même, plus généralement, le discriminant de ℤ[ω] pour n'importe quel entier algébrique ω (cf. § « Discriminant et polynôme » ci-dessous).

Propriétés

Discriminant et polynôme

Soient a un entier algébrique et ℤ[a] la ℤ-algèbre engendrée par a. Une propriété ci-dessus de la trace montre que :

Par exemple, le discriminant de ℤ[[[:Modèle:Math]]], égal à –4 (§ « Exemple 2 » ci-dessus), est égal au discriminant du polynôme XModèle:2 + 1, qui est le polynôme minimal de Modèle:Math.

Discriminant d'un idéal

Soit J un idéal non nul de A. Son groupe additif est un ℤ-sous-module libre de rang égal au rang n de A puisque J contient le sous-module αA, de rang n, pour n'importe quel α non nul dans J. On définit sa norme N(J) comme la valeur absolue du déterminant d'une base de J dans une base de A. De la formule de changement de base pour une forme bilinéaire, on déduit alors immédiatement :

Le même argument montre que dans un corps de nombres K de degré n, pour qu'un sous-anneau de OModèle:Ind de rang n soit égal à l'anneau tout entier, il est suffisant (mais non nécessaire : Modèle:Cf. cas d ≢ 1 mod 4 de l'exemple 2 ci-dessus) que son discriminant soit sans facteur carré ; par exemple pour K = ℚ(ξ) où ξ est une racine de XModèle:3 – X – 1, ceci prouve que OModèle:Ind est réduit à ℤ[ξ], dont le discriminant vaut (d'après le § précédent) [[Méthode de Cardan#Formules de Cardan|–(4(–1)Modèle:3 + 27(–1)Modèle:2)]] = –23.

Critère de ramification

Soient (comme dans le § « Définition 2 » ci-dessus) K un corps de nombres et OModèle:Ind son anneau des entiers. C'est un anneau de Dedekind donc tout idéal y est produit, de façon unique, d'idéaux premiers, en particulier tout idéal engendré par un entier relatif.

Lorsque K est un corps quadratique ou cyclotomique ou, plus généralement, un Modèle:Lien, c'est-à-dire lorsque OModèle:Ind est de la forme ℤ[a], ceci a donc lieu exactement quand p divise le discriminant de OModèle:Ind (Modèle:Cf. § Discriminant et polynôme ci-dessus). Plus généralement :

Modèle:Démonstration/début L'anneau quotient A := OModèle:Ind/pOModèle:Ind est une algèbre sur le corps fini FModèle:Ind := ℤ/pℤ et toute ℤ-base de OModèle:Ind a pour image une FModèle:Ind-base de A. Par fonctorialité de la trace, la [[Congruence sur les entiers|classe de ΔModèle:Ind modulo p]] est égale au déterminant de la forme trace de A dans une telle base ou, à produit près par un résidu quadratique non nul, dans n'importe quelle FModèle:Ind-base de A (par le même raisonnement qu'au Modèle:Nobr Or (puisque OModèle:Ind est de Dedekind) les idéaux PModèle:Ind sont maximaux donc premiers entre eux deux à deux, si bien que le théorème des restes chinois généralisé s'applique : A est isomorphe au produit des A/QModèle:IndModèle:Exp, où les QModèle:Ind sont les images dans A des PModèle:Ind.

On voit donc déjà que p divise ΔModèle:Ind si et seulement si la forme trace est dégénérée sur au moins l'un des A/QModèle:IndModèle:Exp, et il reste à montrer que pour un idéal maximal Q de A, la forme trace est dégénérée sur A/QModèle:Exp si et seulement si Modèle:Nobr

• Si e = 1, A/QModèle:Exp est un corps donc — puisque FModèle:Ind est parfait — une extension séparable de FModèle:Ind et [[#Propriétés de la trace|la forme trace est alors non dégénérée sur A/QModèle:Exp]].
• Si e > 1, la classe x dans A/QModèle:Exp d'un élément de [[Différence ensembliste|Q\QModèle:Exp]] est non nulle mais nilpotente donc, pour tout y dans A/QModèle:Exp, xy est également nilpotent donc de trace nulle, ce qui prouve que la forme trace est dégénérée sur A/QModèle:Exp.

En particulier, sur tout corps de nombres K, il n'y a qu'un ensemble fini de nombres premiers ramifiés. De plus, si K est différent de ℚ, il y en a toujours au moins un d'après le théorème suivant, démontré dans l'article sur le groupe des classes à l'aide du théorème de Minkowski : Modèle:Théorème Ce théorème prouve en effet que si n > 1 alors |ΔModèle:Ind| > 1, puisque la norme d'un idéal non nul vaut au moins 1 et que (par récurrence) pour tout n ≥ 2, (π/4)Modèle:ExpnModèle:Exp/n! > 1.

Voir aussi

Articles connexes

• Algèbre de Frobenius
• Différente
• Théorème d'Hermite-Minkowski

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Samuel1
• Modèle:Serre1

Liens externes

• Modèle:Ouvrage
• Loïc Merel, Nombres algébriques et nombres p-adiques, cours préparatoire aux études doctorales 2003-04