Forme bilinéaire symétrique

En algèbre linéaire, une forme bilinéaire symétrique est une forme bilinéaire qui est symétrique. Les formes bilinéaires symétriques jouent un rôle important dans l'étude des quadriques.

Définition

Soit Modèle:Math un espace vectoriel de dimension Modèle:Math sur un corps commutatif Modèle:Math. Une application $B:V\times V\to K$ est une forme bilinéaire symétrique sur l'espace si ($\mathrm{\forall }u,v,w\in V,\mathrm{\forall }\lambda \in K$) :

• $B(u,v)=B(v,u)$ ;
• $B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)$ ;
• $B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w).$

Les deux derniers axiomes impliquent seulement la linéarité par rapport à la « première variable » mais le premier permet d'en déduire la linéarité par rapport à la « deuxième variable ».

Exemples

Tout produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique.

Représentation matricielle

Soit $C=(e_1,\dots ,e_n)$ une base d'un espace vectoriel Modèle:Math. Définissons la matrice carrée Modèle:Math d'ordre Modèle:Math par $a_{ij}=B(e_i,e_j)$. La matrice Modèle:Math est symétrique d'après la symétrie de la forme bilinéaire. Si la matrice Modèle:Math de type $(n,1)$ représente les coordonnées d'un vecteur Modèle:Math dans cette base, et de façon analogue Modèle:Math représente les coordonnées d'un vecteur Modèle:Math, alors $B(v,w)$ est égal à :

${}^{t}xAy={}^{t}yAx.$

Supposons que $C^{\prime }=(e{\text{'}}_1,\dots ,e{\text{'}}_n)$ soit une autre base de Modèle:Math, considérons la matrice de passage (inversible) Modèle:Math d'ordre Modèle:Math de la base Modèle:Math à la base Modèle:Math. Dans cette nouvelle base, la représentation matricielle de la forme bilinéaire symétrique est donnée par

$A^{\prime }={}^{t}SAS.$

Orthogonalité et singularité

Une forme bilinéaire symétrique est toujours réflexive. Par définition, deux vecteurs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont orthogonaux pour la forme bilinéaire Modèle:Mvar si $B(v,w)=0$, ce qui, grâce à la réflexivité, est équivalent à $B(w,v)=0$.

Le noyau d'une forme bilinéaire Modèle:Mvar est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tout autre vecteur de Modèle:Mvar. C'est un sous-espace de Modèle:Mvar. Lorsqu'on travaille avec une représentation matricielle Modèle:Mvar relativement à une certaine base, un vecteur Modèle:Mvar représenté par sa matrice colonne des coordonnées Modèle:Mvar appartient au noyau si et seulement si $Ax=0$, ce qui est équivalent à ${}^{t}xA=0$.

La matrice Modèle:Mvar est non inversible (ou « singulière ») si et seulement si le noyau de Modèle:Mvar n'est pas réduit au sous-espace nul.

Si Modèle:Mvar est un sous-espace vectoriel de Modèle:Mvar, alors $W^{\perp }$, l'ensemble de tous les vecteurs orthogonaux à tout vecteur de Modèle:Mvar est aussi un sous-espace de Modèle:Mvar. Lorsque le noyau de Modèle:Mvar est trivial, la dimension de $W^{\perp }$ est $n-\dim (W)$.

Bases orthogonales

Une base $C=(e_1,\dots ,e_n)$ est orthogonale pour Modèle:Math si :

$\mathrm{\forall }i\ne j,B(e_i,e_j)=0$.

Lorsque la caractéristique du corps est différente de 2, il existe toujours une base orthogonale (voir Forme quadratique#Orthogonalité).

Une base Modèle:Math est orthogonale si et seulement si la matrice représentant Modèle:Math dans cette base est diagonale.

Signature et loi d'inertie de Sylvester

Dans sa forme la plus générale, la loi d'inertie de Sylvester affirme qu'en travaillant sur un corps ordonné, le nombre d'éléments diagonaux strictement positifs, ou strictement négatifs, est indépendant de la base orthogonale choisie. Ces deux nombres constituent la signature de la forme bilinéaire.

Cas réel

En travaillant sur le corps des réels, il est possible d'aller un peu plus loin. Soit $C=(e_1,\dots ,e_n)$ une base orthogonale.

Définissons une nouvelle base $C^{\prime }=(e{\text{'}}_1,\dots ,e{\text{'}}_n)$ par

$e{\text{'}}_i=\{\begin{array}{cc}{e}_i& \text{si }B(e_i,e_i)=0\\ \frac{e_i}{\sqrt{B(e_i,e_i)}}& \text{si }B(e_i,e_i)>0\\ \frac{e_i}{\sqrt{-B(e_i,e_i)}}& \text{si }B(e_i,e_i)<0\end{array}$

La matrice de Modèle:Math dans cette nouvelle base est une matrice diagonale qui n'a que des 0, des 1 ou des –1 sur sa diagonale. Des 0 apparaissent sur la diagonale si et seulement si le noyau est non trivial.

Cas complexe

En travaillant sur le corps des nombres complexes, on peut établir un résultat similaire à celui du cas réel.

Soit $C=(e_1,\dots ,e_n)$ une base orthogonale.

Pour tout $i\in \{1,\dots ,n\}$ tel que $B(e_i,e_i)\ne 0$, notons $r_i$ l'une des racines carrées de $B(e_i,e_i)$.

Définissons une nouvelle base $C^{\prime }=(e{\text{'}}_1,\dots ,e{\text{'}}_n)$ par

$e{\text{'}}_i=\{\begin{array}{cc}{e}_i& \text{si }B(e_i,e_i)=0\\ e_i/r_i& \text{si }B(e_i,e_i)\ne 0\end{array}$

La matrice de Modèle:Math dans cette nouvelle base est une matrice diagonale qui n'a que des 0 ou 1 sur la diagonale. Des 0 apparaissent si et seulement si le noyau est non trivial.

Références

• Modèle:Planetmath
• René Deheuvels, Formes quadratiques et groupes classiques, PUF

Article connexe

Forme hermitienne