Matrice de Vandermonde

En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom du mathématicien français Alexandre-Théophile Vandermonde.

De façon matricielle, elle se présente ainsi :

$V=\left(\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_1& {{\alpha }_1}^2& \dots & {{\alpha }_1}^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& {{\alpha }_2}^2& \dots & {{\alpha }_2}^{n-1}\\ 1& {\alpha }_3& {{\alpha }_3}^2& \dots & {{\alpha }_3}^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\alpha }_m& {{\alpha }_m}^2& \dots & {{\alpha }_m}^{n-1}\end{array}\right)$

Autrement dit, pour tous i et j, le coefficient en ligne i et colonne j est $V_{i,j}={{\alpha }_i}^{j-1}.$

Remarque.

Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus.

Inversibilité

On considère une matrice V de Vandermonde carrée (m=n). Elle est inversible si et seulement si les α_i sont deux à deux distincts.Modèle:Démonstration

Déterminant

Le déterminant d'une matrice $n\times n$ de Vandermonde ($m=n$ dans ce cas) peut s'exprimer ainsiModèle:,

$\det (V)=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$.

Applications

La matrice de Vandermonde et le calcul de son déterminant sont utilisés en interpolation polynomiale.

Un cas particulier de matrice de Vandermonde apparaît dans la formule de la transformée de Fourier discrète, où les coefficients ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ sont des racines complexes de l'unité.

Voir aussi

Bibliographie

• Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 1 : algèbre, m.p. - spéciales m',m, Dunod, Paris, 1971 ; pages 316 à 319.
• Daniel Guinin, François Aubonnet et Bernard Joppin, Précis de mathématiques, Tome 2, Algèbre 2, Modèle:3e, Bréal, 1994 ; pages 19 et 20.

Articles connexes

• Interpolation lagrangienne

Lien externe

• Didier Piau, Un tour du (Vander)monde en 70 minutes