Norme (théorie des corps)

Modèle:Voir homonymes En théorie des corps (commutatifs), la norme d'un élément α d'une extension finie L d'un corps K est le déterminant de l'endomorphisme linéaire du K-espace vectoriel L qui, à x, associe αx. C'est un homomorphisme multiplicatif. La notion est utilisée en théorie de Galois et en théorie algébrique des nombres.

En arithmétique, elle intervient de façon cruciale dans la théorie des corps de classes : les sous-extensions abéliennes d'une extension donnée sont essentiellement en correspondance avec des groupes de normes, c'est-à-dire l'image dans K, par la norme, de certains groupes de L.

Cette notion s'étend en une notion de norme d'un idéal de l'anneau des entiers d'un corps de nombres (c'est-à-dire d'une extension finie du corps ℚ des rationnels), de telle façon que la norme d'un idéal principal soit égale à la norme relative sur ℚ d'un générateur de cet idéal. On démontre que la norme d'un idéal non nul est égale au cardinal de l'anneau quotient, et qu'elle est multiplicative. La démonstration de la finitude du groupe des classes utilise des propriétés de majoration de la norme des idéaux dans une classe donnée.

Définitions

Soit K un corps commutatif, L une extension finie.

La norme, relative à l'extension L/K d'un élément α de L, est le déterminant de l'endomorphisme φModèle:Ind du K-espace vectoriel L qui, à x, associe l'élément αx. Elle est généralement notée N_L/K(α).
C'est donc un élément de K, égal au produit des racines du polynôme caractéristique χModèle:Ind de φModèle:Ind, comptées avec leurs multiplicités, et dans une extension où χModèle:Ind est scindé.

Il est courant, dans les communications orales ou les forums, où un certain laxisme est autorisé, de parler de norme d'un élément algébrique sur Modèle:Nobr sans référence à la donnée d'une extension L ; dans ce cas, il est entendu que la norme d'un élément algébrique α sur un corps K (ou même simplement la « norme de α » si le corps K a été auparavant précisé), est la norme de α relativement à l'extension simple Modèle:Nobr. Elle est parfois notée N(α). Dans les documents écrits plus formels, cet usage est cependant évité, et on utilise la notation Modèle:Nobr.

Remarquons aussi que Modèle:Nobr est le produit des racines du polynôme minimal P de α sur K ; en effet, pour L = K[α] de degré d, (1, α, αModèle:2, … , αModèle:Exp) est une base dans laquelle la [[Matrice d'une application linéaire|matrice de φModèle:Ind]] est la matrice compagnon de P, donc χModèle:Ind = P.

Un entier algébrique d'une extension donnée possède évidemment une norme relativement à cette extension, mais elle est de plus entière. Cette observation conduit à généraliser la notion de norme de façon naturelle (cf. § Théorie algébrique des nombres) aux idéaux de l'anneau O_L des entiers algébriques d'un corps de nombres L. On démontre alors que la norme d'un idéal non nul J de OModèle:Ind est le cardinal (fini) de l'anneau quotient OModèle:Ind/J.

Propriétés

Cas séparable

Du lien entre la norme d'un élément et son polynôme minimal, on déduit immédiatement :

• La norme d'un élément algébrique séparable sur K est égale au produit de ses éléments conjugués.

Plus généralement :

• Si L est séparable sur K et si S désigne l'ensemble des K-plongements de L dans une sur-extension normale alors, pour tout élément α de L,

${𝒩}_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in S}\sigma (\alpha ).$

Modèle:Démonstration/début D'après le théorème de l'élément primitif, L est de la forme K[m] pour un certain élément m. Pour α = m, la formule n'est autre que le cas particulier précédent. Elle s'étend à tout élément α de L, car α est de la forme Q(m) pour un certain polynôme Q à coefficients dans K, si bien que φModèle:Ind = [[Polynôme d'endomorphisme|Q(φModèle:Ind)]] donc [[Polynôme caractéristique#Propriétés|les racines de χModèle:Ind sont les images par Q de celles de χModèle:Ind]] et ainsi :

${𝒩}_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in S}Q(\sigma (m))=\prod _{\sigma \in S}\sigma (Q(m))=\prod _{\sigma \in S}\sigma (\alpha ).$

Relations entre normes

La norme relative hérite de la multiplicativité du déterminant :

Si L est de degré n sur K[α] alors NModèle:Ind(α) = N(α)Modèle:Exp. Plus généralement, le calcul du déterminant d'une matrice diagonale par blocs donne :

En prenant pour F la fermeture séparable de K dans L, ceci permet de généraliser le cas séparable ci-dessus :

Pour une extension intermédiaire F quelconque, en appliquant cette formule à la fois à L/K, L/F et F/K, on peut alors décrire la norme relative de tout élément de L, par la formule de composition des normes :

Il est possible aussi de démontrer cette formule sans passer par des produits indexés par S, grâce à la formule de composition pour les déterminants.

Théorie algébrique des nombres

Modèle:Article détaillé Dans toute cette section, K est le corps ℚ des rationnels donc l'extension finie L est un corps de nombres. On considère l'anneau OModèle:Ind des entiers algébriques de L. Un cas particulier simple est étudié dans l'article « Entier quadratique ».

• La norme d'un entier algébrique et sa norme relative, pour tout corps de nombres L qui le contient, sont des entiers relatifs.
  En effet, au signe près, la norme de α est égale au coefficient constant de son polynôme minimal – qui pour un entier algébrique est à coefficients entiers – et la norme relative en est une puissance.

Dans cette situation et si α est non nul, sa norme relative est aussi (par définition) le déterminant, dans une base B du ℤ-module OModèle:Ind, de la base αB du sous-module αOModèle:Ind. Les matrices de changement de base de ces modules étant dans le groupe linéaire de ℤ, leurs déterminants valent ±1. Il est donc naturel d'étendre comme suit la définition de la norme relative à des idéaux :

• La norme d'un idéal non nul J de OModèle:Ind est la valeur absolue du déterminant, dans une base du ℤ-module OModèle:Ind, d'une base du sous-module J.

C'est donc un entier naturel et, si J est principal, cet entier est égal à la valeur absolue de la norme relative d'un générateur.

On démontre alors la caractérisation annoncée :

• Pour tout idéal non nul J de OModèle:Ind, le quotient OModèle:Ind/J est fini, de cardinal égal à la norme de J.

Modèle:Démonstration/début Soit d le degré de l'extension. Remarquons d'abord que le ℤ-module OModèle:Ind est libre de rang d (cf. § « Propriétés noethériennes » de l'article « Entier algébrique »). D'après le théorème des facteurs invariants, il existe donc une famille génératrice de J de la forme Modèle:Nobr avec pModèle:Ind entiers naturels et (eModèle:Ind, … , eModèle:Ind) base de OModèle:Ind. De plus, tous les pModèle:Ind sont non nuls car J contient le sous-module αOModèle:Ind, de rang d, pour n'importe quel α non nul dans J. Ainsi la définition a bien un sens (i.e. : OModèle:Ind et J sont deux ℤ-modules libres de même rang fini), Modèle:Nobr est une base de J, et la norme de J est égale à pModèle:Ind…pModèle:Ind. Or ce produit est exactement le cardinal du quotient OModèle:Ind/J = Modèle:Nobr Modèle:≃ Modèle:Nobr Modèle:Démonstration/fin (Cette propriété peut s'interpréter géométriquement en disant que le nombre de points du réseau OModèle:Ind qui appartiennent à un domaine fondamental du sous-réseau J est égal au volume relatif de ce domaine fondamental : cf. § « Covolume » de l'article « Réseau (géométrie) ». Le cas particulier des entiers quadratiques, plus simple, est étudié dans l'article « Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique ».)

En particulier si P est un idéal premier non nul alors OModèle:Ind/P est un anneau intègre fini donc un corps fini FModèle:Ind, N(P) = q est une puissance d'un nombre premier, et le théorème de Lagrange sur les groupes donne aussitôt : Modèle:Théorème On démontre de même, plus généralement, un analogue du théorème d'Euler.

La propriété de multiplicativité est conservée :

• Soit JModèle:Ind et JModèle:Ind deux idéaux non nuls de OModèle:Ind, l'égalité suivante est vérifiée :${𝒩}_{L/\mathbb{Q}}(J_1\cdot J_2)={𝒩}_{L/\mathbb{Q}}(J_1){𝒩}_{L/\mathbb{Q}}(J_2)$.

Modèle:Démonstration/début La démonstration suivante se fonde sur le fait que l'anneau OModèle:Ind est de Dedekind. Tout idéal est produit d'idéaux premiers et tout idéal premier est maximal (cf. l'article « Idéal fractionnaire »). Il suffit donc de démontrer la proposition si JModèle:Ind est maximal, le cas général se traitant alors par multiplication successives d'idéaux maximaux.

D'après le troisième théorème d'isomorphisme, le groupe abélien OModèle:Ind/JModèle:Ind est isomorphe au quotient de OModèle:Ind/(JModèle:IndJModèle:Ind) par le sous-groupe JModèle:Ind/(JModèle:IndJModèle:Ind). Il suffit donc de démontrer que ce sous-groupe est isomorphe à OModèle:Ind/JModèle:Ind. Soit α un élément de JModèle:Ind qui n'est pas dans JModèle:IndJModèle:Ind. (Un tel élément existe car l'inclusion de JModèle:Ind dans OModèle:Ind est stricte donc – par inversibilité de l'idéal fractionnaire JModèle:Ind – celle de JModèle:IndJModèle:Ind dans JModèle:Ind aussi.) Alors JModèle:IndModèle:-1α est un idéal de OModèle:Ind qui n'est pas inclus dans JModèle:Ind, si bien que l'idéal JModèle:IndModèle:-1α + JModèle:Ind contient strictement l'idéal maximal JModèle:Ind, donc est égal à OModèle:Ind, c'est-à-dire qu'il existe un élément β de JModèle:IndModèle:Exp tel que 1 – αβ appartient à JModèle:Ind. On conclut en remarquant que le morphisme naturel de OModèle:Ind/JModèle:Ind dans JModèle:Ind/(JModèle:IndJModèle:Ind) qui à la classe de tout élément γ de OModèle:Ind associe celle de αγ est alors un isomorphisme, le morphisme réciproque étant celui, de JModèle:Ind/(JModèle:IndJModèle:Ind) dans OModèle:Ind/JModèle:Ind, qui à la classe de tout élément δ de JModèle:Ind associe celle de βδ.

Applications

Les normes permettent parfois d'établir le caractère euclidien de certains anneaux d'entiers. Tel est le cas par exemple pour les entiers de Gauss, d'Eisenstein et les [[Anneau_des_entiers_de_Q(√5)|entiers de ℚ(Modèle:Racine)]].

Dans le cas plus général des corps quadratiques, la norme aide à élucider la structure de l'anneau pour permettre par exemple de résoudre l'équation x² + 5y² = p où p est un nombre premier.

D'une manière encore plus générale, la norme est utilisée pour établir les résultats clé de la théorie algébrique des nombres, comme la finitude du groupe des classes d'idéaux de l'anneau des entiers d'un corps de nombres.

Voir aussi

Article connexe

Forme trace

Bibliographie

• Modèle:Samuel1
• Modèle:Serre1