Théorème d'Euler (arithmétique)

Leonhard Euler (1753)

En mathématiques, le théorème d'Euler ou d'Euler-Fermat en arithmétique modulaire, publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, s'énonce ainsi :

Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat qui, lui, ne traite que le cas où Modèle:Mvar est un nombre premier.

Il se démontre en remarquant que l'exposant Modèle:Math (appelé l'indicatrice de Carmichael de Modèle:Mvar) du groupe (ℤ/Modèle:Mvarℤ)Modèle:Exp des inversibles de l'[[anneau ℤ/nℤ|anneau ℤ/Modèle:Mvarℤ]] est un diviseur de l'ordre Modèle:Math de ce groupe (cette propriété, commune à tous les groupes finis, se déduit du théorème de Lagrange sur les groupes).

Il permet la [[Exponentiation modulaire|réduction modulo Modèle:Mvar de puissances]]. Par exemple, si l'on veut trouver le chiffre des unités de 7Modèle:Exp, c'est-à-dire trouver à quel nombre entre 0 et 9 est congru 7Modèle:Exp modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que Modèle:Math. Le théorème d'Euler nous indique donc que Modèle:Retrait On en déduit que Modèle:Retrait Le chiffre recherché est donc 9.

Autre démonstration

Il existe de nombreuses démonstrations de ce théorème. On a déjà fourni ci-dessus celle qui généralise la preuve du petit théorème de Fermat par le théorème de Lagrange. On peut de même généraliser la démonstration arithmétique élémentaire :

Soient Modèle:Math et Modèle:Mvar un entier premier avec Modèle:Mvar. Notons $\bar{a}$ la classe modulo $n$ d'un entier $a$, en particulier $\bar{a}\in {(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times }$ (où ${(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times }$ désigne le groupe des éléments inversibles modulo Modèle:Mvar).

La bijection ${(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times }\to {(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times },x\mapsto \bar{a}x$ permet de réécrire le produit $P:=\prod _{x\in {(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times }}x$ :

$P=\prod _{x\in {(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times }}\left(\bar{a}x\right)=\stackrel{\mathrm{Card}\left({(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times }\right)}{\bar{a}}P=\stackrel{\phi (n)}{\bar{a}}P$.

On conclut en simplifiant par l'inversible $P$ :

$\bar{1}=\stackrel{\phi (n)}{\bar{a}}=\overline{a^{\phi (n)}}$.

Voir aussi

• Ordre multiplicatif
• Liste de sujets portant le nom de Leonhard Euler