Rationnel de Gauss

Modèle:Ébauche En mathématiques, un Modèle:Refnec est un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont des nombres rationnels.

L'ensemble des rationnels de Gauss est donc

$\{p+q\mathrm{i}\mid (p,q)\in {\mathbb{Q}}^2\}.$

C'est un sous-corps de ℂ, généralement noté ℚ(Modèle:Math) ou ℚ[[[:Modèle:Math]]].

Ces nombres tirent leur nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.

Propriétés

• ℚ(Modèle:Math) est le corps de rupture du polynôme XModèle:2 + 1 sur ℚ. C'est donc un corps quadratique imaginaire et un corps cyclotomique.
• L'[[Entier quadratique#Entier quadratique|anneau des entiers de ℚ(Modèle:Math)]] est l'anneau ℤ[[[:Modèle:Math]]] des entiers de Gauss. Son discriminant est –4.
• ℚ(Modèle:Math) n'est ni un corps totalement ordonnable, ni un espace complet pour la distance euclidienne usuelle, associée au module d'un nombre complexe (ou même pour n'importe quelle valeur absolue non triviale).