Théorème d'Ostrowski
Modèle:Voir homonymes En mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème de théorie des nombres démontré en 1916 par Alexander Ostrowski, d'après lequel toute valeur absolue non triviale sur le corps ℚ des rationnels est équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques.
Plus précisément et plus généralement[1], le théorème d'Ostrowski énonce que les seules valeurs absolues non ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme x ↦ |f(x)|Modèle:Exp, où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et 0 < c ≤ 1. Or les valeurs absolues ultramétriques sur K sont celles induites par une valuation réelle, et pour K = ℚ les valuations réelles sont les valuations p-adiques.
Valeur absolue
Modèle:Article détaillé Soit K un corps. Une valeur absolue sur K est une application | ∙ | de K dans l'ensemble des réels positifs, vérifiant :
L'application Modèle:Math est alors une distance sur K.
Si la valeur absolue vérifie la condition Modèle:Retrait plus forte que la condition 3, alors la valeur absolue est dite ultramétrique.
Valeur absolue triviale
La valeur absolue triviale | ∙ |Modèle:Ind sur un corps est définie par Modèle:Retrait
Valeur absolue usuelle
La valeur absolue usuelle | ∙ |Modèle:Ind sur ℚ est définie par Modèle:Retrait
Valeur absolue p-adique
Pour un nombre premier p fixé, tout rationnel non nul Modèle:Math s'écrit de manière unique sous la forme Modèle:Retrait où , sont des entiers relatifs, est un entier strictement positif tels que et sont premiers entre eux, et ne divise ni ni .
L'entier Modèle:Math est la valuation p-adique de Modèle:Math. La valeur absolue p-adique | ∙ |Modèle:Ind sur ℚ est alors définie par Modèle:Retrait
Elle est ultramétrique.
Valeurs absolues équivalentes
Deux valeurs absolues sur un corps K sont dites équivalentes lorsque les distances associées sont topologiquement équivalentes. Elles sont alors puissance l'une de l'autre avec un exposant strictement positif.
Théorème d'Ostrowski
Complétés du corps des nombres rationnels
Le théorème d'Ostrowski montre qu'il n'existe que deux types de complétés du corps ℚ. Si l'on prend une valeur absolue équivalente à la valeur absolue usuelle, on construira un corps isomorphe à ℝ. On pourra consulter la construction des nombres réels pour plus d'information.
Si l'on complète le corps ℚ par une valeur absolue p-adique, on obtient des corps complets très différents de celui des réels : les corps p-adiques. Cela ouvre les portes de l'analyse p-adique.