Valuation p-adique

En théorie des nombres, la valuation Modèle:Nobr ou l'ordre Modèle:Nobr d'un entier non nul Modèle:Mvar est l'exposant de la puissance la plus élevée du nombre premier Modèle:Mvar qui divise Modèle:Mvar : cet exposant est noté ${\nu }_p(n)$. De manière équivalente, ${\nu }_p(n)$ est l'exposant auquel $p$ apparaît dans la décomposition en facteurs premiers de $n$. On prolonge cette notation aux rationnels non nuls en posant ${\nu }_p\left(\frac{m}{n}\right)={\nu }_p(m)-{\nu }_p(n)$.

La valuation Modèle:Mvar-adique est une valuation, analogue de la valeur absolue habituelle. Alors que l'extension des nombres rationnels par rapport à la valeur absolue aboutit aux nombres réels $ℝ$, leur extension par rapport à la valuation $p$-adique aboutit au corps des [[Nombre p-adique|nombres Modèle:Nobrs]] ${\mathbb{Q}}_p$.

Distribution des entiers naturels par leur valuation 2-adique, étiquetés avec les puissances correspondantes de deux. Zéro a une valuation infinieModèle:Note.

Définition et propriétés

Soit Modèle:Mvar un nombre premier.

Entiers

La valuation Modèle:Nobr (des entiers) est définie comme étant l'application

${\nu }_p:\begin{array}{c}\mathbb{Z}⟶\mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}\\ n⟼\{\begin{array}{cc}\max (\{k\in \mathbb{N}\mid p^k\mid n\}),& \text{si }n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{si }n=0\end{array}\end{array}$

$\mathbb{N}$ désignant l'ensemble des entiers naturels et $m\mid n$ désignant la divisibilité de $n$ par $m$.

Par exemple, pour $-12$, dont la valeur absolue est égale à$|-12|=12=2^2\cdot 3^1\cdot 5^0$, on a ${\nu }_2(-12)=2$, ${\nu }_3(-12)=1$, et ${\nu }_5(-12)=0$.

La notation $p^k\parallel n$ est parfois utilisée pour signifier que $k={\nu }_p(n)$.

Si $n$ est un entier positif, alors

${\nu }_p(n)⩽{\log }_{p}n$

car par définition : $n⩾p^{{\nu }_p(n)}$.

Nombres rationnels

La valuation Modèle:Mvar-adique peut être étendue aux nombres rationnelsModèle:, par :

${\nu }_p:\begin{array}{c}\mathbb{Q}⟶\mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}\\ \frac{r}{s}⟼{\nu }_p(r)-{\nu }_p(s)\end{array}$.

Par exemple, ${\nu }_2\left(\frac{9}{8}\right)=-3$ et ${\nu }_3\left(\frac{9}{8}\right)=2$, car $\frac{9}{8}=2^{-3}\cdot 3^2$.

On a en particulier:

${\nu }_p(r\cdot s)={\nu }_p(r)+{\nu }_p(s)$

${\nu }_p(r+s)\ge \min \{{\nu }_p(r),{\nu }_p(s)\}$

De plus, si ${\nu }_p(r)\ne {\nu }_p(s)$, alors

${\nu }_p(r+s)=\min \{{\nu }_p(r),{\nu }_p(s)\}$

Valeur absolue Modèle:Mvar-adique

La valeur absolue Modèle:Mvar-adique sur $\mathbb{Q}$ est la fonction définie par

Par exemple, $|-12{|}_2=2^{-2}=\frac{1}{4}$ et $|\frac{9}{8}{|}_2=2^{-(-3)}=8.$

La valeur absolue Modèle:Mvar-adique est :

non-négative	$|r{|}_p\ge 0$
définie positive	$|r{|}_p=0⟺r=0$
multiplicative	$|rs{|}_p=|r{|}_p|s{|}_p$
ultramétrique	$|r+s{|}_p⩽\max (|r{|}_p,|s{|}_p)$

Comme elle est multiplicative ($|rs{|}_p=|r{|}_p|s{|}_p$ ) on a $|1{|}_p=1=|-1{|}_p$ et donc on a aussi $|-r{|}_p=|r{|}_p.$ L'inégalité triangulaire $|r+s{|}_p⩽|r{|}_p+|s{|}_p$ (sous-additivité) découle de l'inégalité ultramétrique $|r+s{|}_p\le \max (|r{|}_p,|s{|}_p)$.

Le choix de la base Modèle:Mvar dans l'exponentiation $p^{-{\nu }_p(r)}$ n'affecte pas la plupart des propriétés, et permet d'avoir la formule du produit :

$\prod _{0,p}|r{|}_p=1$

où le produit prend en compte tous les nombres premiers Modèle:Mvar et la valeur absolue habituelle, notée $|r{|}_0$. Cela découle simplement de la décomposition en facteurs premiers.

$\mathbb{Q}$ peut être muni d'une structure d'espace métrique par la distance (ultramétrique et invariante par translation)

$d:\begin{array}{c}\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to {ℝ}_{\ge 0}\\ (r,s)⟼d(r,s)=|r-s{|}_p\end{array}$

La complétion de $\mathbb{Q}$ pour cette distance conduit au corps ${\mathbb{Q}}_p$ des [[Nombre p-adique|nombres Modèle:Mvar-adiques]].

Liens internes

• [[Nombre p-adique|Nombres Modèle:Mvar -adiques]]
• Valuation
• Théorème d'Ostrowski
• Formule de Legendre (donnant la valuation p-adique d'une factorielle)
• Distance ultramétrique

Modèle:Portail