Plongement

Modèle:Autre4 Modèle:Ébauche Modèle:Sources Dans de nombreuses branches des mathématiques, on peut être amené à comparer deux « objets » entre eux en montrant que l'un des « objets » est un « sous-objet » de l'autre (parfois via une injection, remplaçant l'inclusion ensembliste). Dans certaines théories, comme en géométrie différentielle ou en théorie des corps, le terme plongement est complètement défini, alors que dans d'autres il est seulement mentionné dans des contextes intuitifs et n'est donc pas pourvu d'un sens précis. De manière générale, il faut penser à un plongement comme à un morphisme injectif (le sens du mot « morphisme» dépendant du contexte).

Espaces topologiques

Cette spirale représente un plongement de la droite réelle dans le plan.

Une application Modèle:Math entre deux espaces topologiques est un plongement de Modèle:Math dans Modèle:Math si elle induit (par corestriction) un homéomorphisme de Modèle:Math dans [[Image d'une application|Modèle:Math]] (muni de la topologie induite).

Cette corestriction est surjective par définition. Elle est continue et injective si et seulement si Modèle:Math l'est.

Toute injection continue ouverte ou fermée est un plongement.

Variétés différentielles

En topologie différentielle, soient Modèle:Formule et Modèle:Formule deux variétés de [[Classe de régularité|classe Modèle:Formule]] (éventuellement Modèle:Formule infini), et Modèle:Formule une fonction.

On dit que Modèle:Formule est un plongement Modèle:Formule si c'est un plongement au sens topologique et si, de plus, Modèle:Formule est Modèle:Formule et pour tout Modèle:Formule, l'application linéaire tangente Modèle:Formule est injective.

Un plongement est alors un difféomorphisme Modèle:Formule sur son image, laquelle image est une sous-variété différentielle de W (ce dernier résultat nécessite le théorème des fonctions implicites)Modèle:Efn.

Une immersion injective d'une variété non compacte n'est pas toujours un plongement.

On le différencie de :

• l'immersion (Modèle:Formule est injective) ;
• la submersion (Modèle:Formule est surjective).

Si V est compacte et si f : V → W est une immersion injective, alors f est un plongement de V dans W.

Contre-exemples quand V n'est pas compacte

• Une feuille du feuilletage de Kronecker de pente irrationnelle n'est pas une sous-variété du tore, puisqu'elle n'est pas localement fermée.
• Même lorsque l'image d'une immersion injective est fermée, elle peut ne pas être localement euclidienne (cf. figure).

Théorème de plongement de Whitney — Toute variété de classe Modèle:Formule (Modèle:Math) et de dimension Modèle:Math admet un plongement dans Modèle:Math.

Espaces métriques

Dans le contexte des espaces métriques on parle de plongement pour un espace plongé dans un autre. Un paramètre important est alors la distorsion (Modèle:Lien), c'est-à-dire une mesure de la transformation des distances pendant l'opération. Un exemple de résultat est le lemme de Johnson-Lindenstrauss.

Algèbre

En algèbre, un plongement est un homomorphismeModèle:Efn injectifModèle:Efn.

Théorie des ensembles ordonnés

Soient Modèle:Math et Modèle:Math deux ordres. Alors Modèle:Formule est un Modèle:Lien si pour tous Modèle:Math et Modèle:Math de Modèle:Math :

Modèle:Math.

Une telle application est nécessairement injective.

Théorie des modèles

En théorie des modèles, une application $f:ℳ\to 𝒩$ entre deux $ℒ$-structures est un plongement si elle est injective et que pour tout $n\in \mathbb{N}$, pour tout $a_1,...,a_n\in {ℳ}^n$, on a :

• pour tout symbole de fonction $F$ d'arité $n$, $f(F^{ℳ}(a_1,...,a_n))=F^{𝒩}(f(a_1),...,f(a_n))$ ;
• pour tout symbole de relation $R$ d'arité $n$, $(a_1,...,a_n)\in R^{ℳ}$ si et seulement si $(f(a_1),...,f(a_n))\in R^{𝒩}$.

Théorie des catégories

Dans une catégorie admettant des images et coimages, Modèle:Pas clair

Plongement de graphes

Un plongement de graphe, est l'opération qui consiste à plonger un graphe dans un espace, selon certaines conditions. Un exemple classique est le cas de graphes planaires : les graphes que l'on peut dessiner dans le plan, sans croisement des arêtes.