Homéomorphisme

Une tasse est homéomorphe à un tore.

En topologie, un homéomorphisme est une application bijective continue, d'un espace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque est continue (une telle application est aussi dite « bicontinue »). Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.

La notion d'homéomorphisme est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont « le même » vu différemment. C'est la raison pour laquelle les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques.

Théorème

Soit $X$ et $Y$ des espaces topologiques, $f$ une application bijective de $X$ sur $Y$. Les conditions suivantes sont équivalentes :

• $f$ et $f^{-1}$sont continues ;
• pour qu'une partie de $X$ soit ouverte, il faut et il suffit que son image dans $Y$ par $f$ soit ouverte.

Propriétés

• Une bijection continue est un homéomorphisme si et seulement si elle est ouverte ou fermée (elle est alors les deux).
• Soient K un espace topologique compact, E un espace topologique séparé, et f : K → E une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme. En particulier, E est un compact.Modèle:Retrait
• Une bijection continue n'est pas toujours un homéomorphisme (voir l'article Comparaison de topologies). Par exemple, l'application$f:[0,2\pi [\to S^1,t\mapsto (\cos t,\sin t)$est une bijection continue mais sa réciproque n'est pas continue en Modèle:Math. En fait, il n'existe aucun homéomorphisme entre le [[Cercle unité|cercle Modèle:Math]] et une partie de ℝ (par des arguments de connexité ou de simple connexité).

Définitions associées

Une application f : X → Y est un Modèle:Lien si tout point de X appartient à un ouvert V tel que f(V) soit ouvert dans Y et que f donne, par restriction, un homéomorphisme de V sur f(V). Une telle application est continue et ouverte.

Exemples

• Tout revêtement est un homéomorphisme local.
• Pour tout ouvert X de Y, l'inclusion X → Y est un homéomorphisme local.
• Toute composée X → Z d'homéomorphismes locaux X → Y et Y → Z est un homéomorphisme local.
• Toute réunion disjointe ∐Modèle:IndXModèle:Ind → Y d'homéomorphismes locaux XModèle:Ind → Y est un homéomorphisme local.
• Modèle:Refsou (Cf. la « droite réelle avec un point double ».)
• Tout difféomorphisme local d'une variété dans une autre est un homéomorphisme local.

Une propriété topologique est une propriété qui est invariante par homéomorphismes.

Exemples

• Tout difféomorphisme est un homéomorphisme.
• Un cercle et un carré sont homéomorphes (par translation suivie d'une projection centrale).
• La sphère de Riemann privée de son pôle nord est homéomorphe au plan : un homéomorphisme est ici la projection stéréographique.
• Le tore de dimension 1 et le cercle unité (ou tout autre cercle de rayon non nul) sont homéomorphes.

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de la bijection
• Morphisme
• Isomorphisme
• Systèmes dynamiques
• Théorème de l'invariance du domaine
• Propriété locale
• Plongement

Lien externe

Homéomorphisme du plan sur un carré : animation sur GeoGebra accompagnée d'un exercice