Morphisme

En mathématiques, en algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui préserve certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.

La notion de morphisme se généralise en théorie des catégories où c'est l'un des concepts de base ; ce n'est alors pas nécessairement une application, mais une « flèche » reliant deux « objets » ou « structures » qui ne sont pas nécessairement des ensembles.

Définitions

Cas général (théorie des modèles)

Soient $ℳ$ et $𝒩$ deux $ℒ$-structures, d'ensembles respectifs $M$ et $N$. Un morphisme de $ℳ$ dans $𝒩$ est une application $m$ de $M$ dans $N$ telle que :

• pour tout symbole de fonction $n$-aire $f\in ℒ$ et pour tout $(a_i{)}_i\in M^n$ on a $m(f^{ℳ}(a_i{)}_i)=f^{𝒩}(m(a_i){)}_i$ (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;
• pour tout symbole de relation $n$-aire $R\in ℒ$ et pour tout $(a_i{)}_i\in M^n$, si $(a_i{)}_i\in R^{ℳ}$ alors $(m(a_i){)}_i\in R^{𝒩}$

$c^{𝒩}$ désignant l'interprétation du symbole $c$ dans la structure $𝒩$.

Cas des monoïdes

Modèle:Loupe Dans la catégorie des monoïdes, un morphisme est une application $f:(M,*,e)⟶(M^{\prime },\star ,e^{\prime })$ entre deux monoïdes $(M,*,e)$ et $(M^{\prime },\star ,e^{\prime })$, qui vérifie :

• $\mathrm{\forall }(g,h)\in M^2,f(g*h)=f(g)\star f(h)$ ;
• $f(e)=e^{\prime }$.

Cas des groupes

Modèle:Article détaillé Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application $f:(G,*)⟶(G^{\prime },\star )$, entre deux groupes $(G,*)$ et $(G^{\prime },\star )$, qui vérifie :

• $\mathrm{\forall }(g,h)\in G^2,f(g*h)=f(g)\star f(h)$.

On se contente de cette unique condition car elle a pour conséquence $f(e)=e^{\prime }$ et $\mathrm{\forall }x\in G,f(x^{-1})=(f(x){)}^{-1}$.

Cas des anneaux

Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application $f:A\to B$ entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions :

• $\mathrm{\forall }a,b\in A,f(a{+}_{A}b)=f(a){+}_{B}f(b)$ ;
• $\mathrm{\forall }a,b\in A,f(a{*}_{A}b)=f(a){*}_{B}f(b)$ ;
• $f\left(1_A\right)=1_B$.

dans lesquelles ${+}_A$, ${*}_A$ et $1_A$ (respectivement ${+}_B$, ${*}_B$ et $1_B$) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux $A$ et $B$.

Cas des espaces vectoriels

Modèle:Voir Dans la Modèle:Lien sur un corps K fixé, un morphisme est une application $f:E\to F$, entre deux K-espaces vectoriels $(E,{+}_E,{\cdot }_E)$ et $(F,{+}_F,{\cdot }_F)$, qui est linéaire c'est-à-dire qui vérifie :

• $f$ est un morphisme de groupes de $(E,{+}_E)$ dans $(F,{+}_F)$ ;
• $\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\forall }\lambda \in K,f(\lambda {\cdot }_{E}x)=\lambda {\cdot }_{F}f(x)$,

ce qui est équivalent à :

$\mathrm{\forall }(x,y)\in E\times E,\mathrm{\forall }\lambda \in K,f(\lambda {\cdot }_{E}x{+}_{E}y)=\lambda {\cdot }_{F}f(x){+}_{F}f(y)$.

Cas des algèbres

Dans le cas de deux $K$-algèbres unifères $(A,+,\times ,.)$ et $(B,\dot{+},\dot{\times },.)$, un morphisme vérifie :

• $f$ est une application linéaire de $A$ dans $B$ ;
• $f$ est un morphisme d’anneaux,

ce qui est équivalent à :

• $f(1_A)=1_B$ ;
• $\mathrm{\forall }(x,y)\in A^2,\mathrm{\forall }(\lambda ,\mu )\in K^2,f(\lambda .x+\mu .y)=\lambda .f(x)\dot{+}\mu .f(y)$ ;
• $\mathrm{\forall }(x,y)\in A^2,f(x\times y)=f(x)\dot{\times }f(y)$.

Cas des ensembles ordonnés

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) est une application f de A dans B croissante (qui préserve l'ordre), c'est-à-dire qui vérifie : pour tous x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y)Modèle:,Modèle:,.

La définition des morphismes d'ensembles préordonnés est identique.

Cas des espaces topologiques

Modèle:Voir Dans la catégorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme » n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.

Cas des espaces mesurables

Modèle:Voir Dans la catégorie des espaces mesurables, un morphisme est une fonction mesurable.

Classement

• Un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
• un isomorphisme est un morphisme $f$ entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme $f^{\prime }$ dans le sens inverse, tels que $f\circ f^{\prime }$ et $f^{\prime }\circ f$ sont les identités des structures ;
• un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
• un épimorphisme (ou morphisme épique ou epi) est un morphisme $f:A\to B$ tel que : pour tout couple $g,h$ de morphismes de type $B\to E$ (et donc aussi pour tout $E$), si $g\circ f=h\circ f$, alors $g=h$ ;
• un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme $f:A\to B$ tel que : pour tout couple $g,h$ de morphismes de type $E\to A$ (et donc aussi pour tout $E$), si $f\circ g=f\circ h$, alors $g=h$.

Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.

Voir aussi

• Antimorphisme
• Cryptomorphisme
• Morphisme de graphes
• Chiffrement homomorphe