Polygone régulier

Le pentagone régulier convexe.

Un ennéagone régulier étoilé.

En géométrie euclidienne, un polygone régulier est un polygone à la fois équilatéral (tous ses côtés ont la même longueur) et équiangle (tous ses angles ont la même mesure). Un polygone régulier est soit convexe, soit étoilé.

Tous les polygones réguliers convexes d'un même nombre de côtés sont semblables. Tout polygone régulier étoilé de n côtés a une enveloppe convexe de n côtés, qui est un polygone régulier. Un entier n supérieur ou égal à 3 étant donné, il existe un polygone régulier convexe de n côtés.

Dans certains contextes, tous les polygones considérés seront convexes et réguliers. Il est alors d'usage de sous-entendre les deux épithètes « convexe régulier ». Par exemple, toutes les faces des polyèdres uniformes doivent être convexes et régulières et les faces seront décrites simplement en tant que triangle, carré, pentagone…

Les multiples propriétés des polygones réguliers ont conduit à leur étude mathématique depuis l'Antiquité et à diverses interprétations symboliques, religieuses ou magiques.

Propriétés générales

Hexagone régulier de côté a, inscrit dans un cercle. Le rayon du polygone est R, égal à celui de son cercle circonscrit.

Caractérisations

Un polygone est régulier si et seulement s'il est à la fois équilatéral et inscriptible (dans un cercle).Modèle:Retrait

Un polygone est régulier si, et seulement s'il existe une rotation qui envoie chaque sommet sur le suivant.Modèle:Retrait

Tout polygone régulier est donc non seulement à la fois équilatéral et équiangle (par définition) mais même à la fois isotoxal et isogonal.

Un polygone à n côtés est régulier si et seulement si son groupe de symétrie est « le plus gros possible » : d'ordre 2n.Modèle:Retrait

Propriétés supplémentaires

Tout polygone régulier est autodual.Modèle:Retrait

Les polygones réguliers à n sommets (considérés à similitude près) sont en bijection avec les entiers premiers avec n et compris entre 1 et n/2
(donc pour n > 2, il y en a φ(n)/2, où φ désigne l'indicatrice d'Euler).Modèle:Retrait

Construction à la règle et au compas

Modèle:Article détaillé Un polygone régulier (convexe ou étoilé) à n arêtes peut être construit avec la règle et le compas si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 par des nombres premiers de Fermat distincts (Modèle:Cf. l'article « Théorème de Gauss-Wantzel »). Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 65 537.

Polygones réguliers convexes

Le polygone régulier convexe à n côtés correspond à l'angle de rotation Modèle:Math.

Angles

Modèle:Voir Pour un polygone convexe régulier à n côtés.

• Angle au centre :
  Les Modèle:Mvar angles au centre sont égaux et leur somme vaut 360°. Un angle au centre a donc pour valeur :Modèle:Retrait
• Angle externe :
  Par le même raisonnement, un angle externe vaut également 360°/n.
• Angle interne :
  Il est supplémentaire de l'angle externe (ou de l'angle au centre) et a donc pour valeur :Modèle:Retrait

Apothème et rayon

Un apothème de l'hexagone régulier convexe.

L'apothème Modèle:Mvar (en rouge) et le demi-côté Modèle:Mvar (en vert) sont les produits du rayon Modèle:Mvar (en noir) par le cosinus et le sinus du demi-angle au centre Modèle:Math.

La distance entre le centre du polygone et chacun des côtés est appelée l'apothème (c'est le rayon du cercle inscrit).

La donnée d'une des trois longueurs (côté Modèle:Mvar, rayon Modèle:Mvar ou apothème Modèle:Mvar) permet de connaître les deux autres et donc de caractériser le polygone.

Si l'on note Modèle:Math la moitié du côté Modèle:Mvar d'un polygone régulier à Modèle:Mvar côtés, ces longueurs sont liées par le théorème de Pythagore :

$h^2+c^2={\rho }^2$

et par les formules de trigonométrie suivantes (les angles étant exprimés en radians) :

$h=\rho \cos \left(\frac{\pi }{n}\right)\mathrm{e}\mathrm{t}c=\rho \sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}c=h\tan \left(\frac{\pi }{n}\right),$

dont on déduit respectivement :

$\rho =\frac{h}{\cos (\pi /n)},\rho =\frac{a}{2\sin (\pi /n)}\mathrm{e}\mathrm{t}h=\frac{a}{2\tan (\pi /n)}.$

Périmètre et aire

Le périmètre P d'un polygone régulier convexe à Modèle:Mvar côtés (n ≥ 3) de longueur Modèle:Mvar est bien sûr égal à na. Quant à son aire S , c'est la somme des aires de n triangles (isocèles) de hauteur Modèle:Mvar (l'apothème) et de base Modèle:Mvar, donc :

$P=na\text{et}S=n\frac{ah}{2}=\frac{Ph}{2}$.

Des relations précédentes entre Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et le rayon Modèle:Mvar du polygone, on déduit alors :

$P=2n\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\rho \text{et}S=\frac{n{a}^2}{4\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)}=\frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right){\rho }^2$ ;

la dernière égalité utilise en outre une identité trigonométrique : $\sin x\times \cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$.

Puisque Modèle:Math est équivalent à Modèle:Mvar quand Modèle:Mvar tend vers 0, le périmètre tend vers Modèle:Math quand Modèle:Mvar tend vers l'infini, et l'aire vers Modèle:Math. On retrouve bien la circonférence du cercle et l'aire du disque.

Les polygones convexes réguliers ont une propriété remarquable, connue depuis les Grecs. Parmi tous les polygones de même nombre de côtés et de même périmètre, celui qui est convexe régulier possède la plus grande aire. Cette aire, toujours plus petite que celle du cercle de même rayon, s'en rapproche au fur et à mesure que Modèle:Mvar devient plus grand. Ces propriétés sont traitées dans l'article « Isopérimétrie ».

Côtés	Nom	Aire exacte si Modèle:Mvar = 1	Demi périmètre si Modèle:Math
3	Triangle équilatéral	$\frac{3}{4\tan \left(\frac{\pi }{3}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{4}$	2,5980762
4	Carré	$\frac{4}{4\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)}=1$	2.8284271
5	Pentagone régulier	$\frac{5}{4\tan \left(\frac{\pi }{5}\right)}=\frac{1}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}$	2,9389263
6	Hexagone régulier	$\frac{6}{4\tan \left(\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$	3,000000
7	Heptagone régulier	$\frac{7}{4\tan \left(\frac{\pi }{7}\right)}$	3,0371862
8	Octogone régulier	$\frac{8}{4\tan \left(\frac{\pi }{8}\right)}=2+2\sqrt{2}$	3,0614675
9	Ennéagone régulier	$\frac{9}{4\tan \left(\frac{\pi }{9}\right)}$	3,0781813
10	Décagone régulier	$\frac{10}{4\tan \left(\frac{\pi }{10}\right)}=\frac{5}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	3,0901699
11	Hendécagone régulier	$\frac{11}{4\tan \left(\frac{\pi }{11}\right)}$	3,0990581
12	Dodécagone régulier	$\frac{12}{4\tan \left(\frac{\pi }{12}\right)}=6+3\sqrt{3}$	3,1058285
13	Tridécagone régulier	$\frac{13}{4\tan \left(\frac{\pi }{13}\right)}$	3,1111036
14	Tétradécagone régulier	$\frac{14}{4\tan \left(\frac{\pi }{14}\right)}$	3,1152931
15	Pentadécagone régulier	$\frac{15}{4\tan \left(\frac{\pi }{15}\right)}$	3,1186754
16	Hexadécagone régulier	$\frac{16}{4\tan \left(\frac{\pi }{16}\right)}$	3,1214452
17	Heptadécagone régulier	$\frac{17}{4\tan \left(\frac{\pi }{17}\right)}$	3,1237418
18	Octadécagone régulier	$\frac{18}{4\tan \left(\frac{\pi }{18}\right)}$	3,1256672
19	Ennéadécagone régulier	$\frac{19}{4\tan \left(\frac{\pi }{19}\right)}$	3,1272972
20	Icosagone régulier	$\frac{20}{4\tan \left(\frac{\pi }{20}\right)}=5\times \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{10-\sqrt{20}}}{1+\sqrt{5}-\sqrt{10-\sqrt{20}}}$	3,1286893
30	Triacontagone régulier	$\frac{30}{4\tan \left(\frac{\pi }{30}\right)}=\frac{15}{2}\times \frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}+\sqrt{10-\sqrt{20}}}{\sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt{5}-1}$	3,1358539
100	Hectogone régulier	$\frac{100}{4\tan \left(\frac{\pi }{100}\right)}$	3,1410759
1 000	Chiliagone régulier	$\frac{1000}{4\tan \left(\frac{\pi }{1000}\right)}$	3,1415875
10 000	Myriagone régulier	$\frac{10000}{4\tan \left(\frac{\pi }{10000}\right)}$	3,1415926

On remarque que si le rayon est égal à 1, le demi-périmètre s'approche de plus en plus de Modèle:Math. Modèle:Démonstration/fin

Polygones réguliers non convexes

Le pentagramme.

Modèle:Voir Un exemple de polygone régulier étoilé (ce qui équivaut à « régulier croisé », ou à « régulier non convexe ») est le pentagramme, qui a les mêmes sommets que le pentagone régulier convexe, mais qui est connecté par des sommets alternés.

Les premiers polygones étoilés sont :

• Pentagramme - {5/2}
• Heptagrammes - {7/2}, {7/3}
• Octagramme - {8/3}
• Ennéagrammes - {9/2}, {9/4}
• Décagramme - {10/3}

Polyèdres

Un polyèdre uniforme est un polyèdre avec des polygones réguliers pour faces tels que pour chaque paire de sommets, il existe une isométrie appliquant l'un sur l'autre. Le mot polygone vient du mot poly (plusieurs) et gone (angles).

Voir aussi

Articles connexes

• Nombre polygonal
• Pavage par des polygones réguliers
• Théorème de Viviani

Liens externes

• Modèle:En Description de polygone régulier avec une animation interactive
• Modèle:En Cercle inscrit d'un polygone régulier avec une animation interactive
• Modèle:En Aire d'un polygone régulier Trois formules différentes, avec une animation interactive
• Géométrie de fleurs avec un polygone régulier Correspondances entre les figures et le tracé des fleurs