Nombre polygonal

En mathématiques, un nombre polygonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un polygone régulier. Les mathématiciens antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en disposant d'une certaine manière des cailloux ou des pois^[1]Modèle:,^[2].

La formule générale pour le nombre $k$ -gonal (associé au polygone régulier à $k$ côtés) d'ordre $n$ est $P_{k, n} = \frac{n ((k - 2) n - (k - 4))}{2}$ .

Avec inversion des lettres $n$ et $k$ , la suite double $(P_{n, k})_{n ⩾ 1, k ⩾ 2}$ est répertoriée comme Modèle:OEIS.

Exemples : nombres triangulaires et nombres carrés

Par exemple, le nombre 10 peut être représenté par un triangle équilatéral ayant quatre pois sur chaque côté :

Notations : Modèle:Math = Modèle:Math = 10. Modèle:Article détaillé Mais 10 ne peut pas être représenté par un carré.

Au contraire : par exemple, le nombre 9 peut être représenté par un carré ayant trois pois sur chaque côté :

Notations : Modèle:Math = 3Modèle:2 = 9. Modèle:Article détaillé Mais 9 ne peut pas être représenté par un triangle.

En outre : par exemple, le nombre 36 peut être représenté à la fois par un carré ayant six pois sur chaque côté et par un triangle ayant huit pois sur chaque côté :

Notations : Modèle:Math = 6Modèle:2 = 36 = Modèle:Math = Modèle:Math. Modèle:Article détaillé

Relation de récurrence, gnomon, somme de gnomons

Récurrence sur l'indice n

Construction d'un nombre k-gonal d'ordre 5, dans le cas $k = 10$ : $1 + 1 + (k - 2) + 1 + 2 (k - 2) + 1 + 3 (k - 2) + 1 + 4 (k - 2)$

La méthode pour passer d'un polygone au suivant consiste à prolonger d'un seul point chacun des deux côtés adjacents à un seul sommet, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes ci-dessous, chaque couche supplémentaire est représentée par des points rouges. Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 3, par convention, posons Modèle:Math = 0 ; pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 1, le nombre de points rouges du Modèle:Mvar-ième Modèle:Mvar-gone, possédant

n

points sur chaque arête, est égal à

k - 2

(points disposés aux sommets) plus

(k - 2) (n - 2)

(points disposés à l'intérieur des arêtes). Donc :

\begin{matrix} P_{k, n} - P_{k, n - 1} & = k - 1 + (k - 2) (n - 2) \\ = 1 + (k - 2) (n - 1) . \end{matrix}

C'est le gnomon associé à Modèle:Math, et faisant passer à Modèle:Mvar.
Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 3, (Modèle:Mvar – Modèle:Math)Modèle:Ind est donc la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison Modèle:Mvar – 2 et pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 0, le Modèle:Mvar-ième nombre Modèle:Mvar-gonal est la [[Suite arithmétique#Somme des termes|somme des Modèle:Mvar premiers termes de cette suite]] :

\begin{matrix} P_{k, n} = \sum_{1 ⩽ i ⩽ n} (1 + (k - 2) (i - 1)) & = n + (k - 2) \frac{n (n - 1)}{2} \\ = \frac{n ((k - 2) n - (k - 4))}{2} \\ = \frac{n ((k - 2) (n - 1) + 2)}{2} \end{matrix}

^[3].

Exemples

Nombres triangulaires :
Modèle:Math = Modèle:Math = 1		Modèle:Math = Modèle:Math = 3		Modèle:Math = Modèle:Math = 6		Modèle:Math = Modèle:Math = 10

Nombres carrés :
Modèle:Math = 1Modèle:2 = 1		Modèle:Math = 2Modèle:2 = 4		Modèle:Math = 3Modèle:2 = 9		Modèle:Math = 4Modèle:2 = 16

Nombres hexagonaux :
Modèle:Math = 1		Modèle:Math = 6		Modèle:Math = 15		Modèle:Math = 28

Récurrence sur l'indice k

On peut obtenir directement la formule $P_{k, n} = (k - 2) T_{n - 1} + n$ pour $k ⩾ 2$ et $n ⩾ 1$ , grâce à la preuve sans mots ci-contre.

On en déduit que pour $k ⩾ 3$ et $n ⩾ 1$ :

$P_{k, n} = P_{k - 1, n} + T_{n - 1}$ .

Autrement dit, on obtient un nombre Modèle:Mvar-gonal en ajoutant au nombre

k - 1

-gonal de même rang le nombre triangulaire de rang inférieur d'une unité.

On en déduit que pour

k ⩾ k^{'} ⩾ 2

:

P_{k, n} = P_{k^{'}, n} + (k - k^{'}) T_{n - 1}

.

Par exemple, pour $k^{'} = 4$ : $P_{k, n} = n^{2} + (k - 4) T_{n - 1}$ (voir figure de gauche).

On a aussi Modèle:Pertinence contestée

Listes de nombres polygonaux

Nombres polygonaux
Modèle:Mvar	Nom	Notation	Expression Modèle:Mvar =	Modèle:Mvar										Numéro de suite OEIS
Modèle:Mvar	Nom	Notation	Expression Modèle:Mvar =	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Numéro de suite OEIS
3	nombre triangulaire	Modèle:Math	$\frac{n (n + 1)}{2}$	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	Modèle:OEIS2C
4	nombre carré	Modèle:Math	$n^{2}$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	Modèle:OEIS2C
5	nombre pentagonal	Modèle:Math	$\frac{n (3 n - 1)}{2}$	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	Modèle:OEIS2C
6	nombre hexagonal	Modèle:Math	$n (2 n - 1)$	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	Modèle:OEIS2C
7	nombre heptagonal	Modèle:Math	$\frac{n (5 n - 3)}{2}$	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	Modèle:OEIS2C
8	nombre octogonal	Modèle:Math	$n (3 n - 2)$	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	Modèle:OEIS2C
9	nombre ennéagonal	Modèle:Math	$\frac{n (7 n - 5)}{2}$	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	Modèle:OEIS2C
10	nombre décagonal	Modèle:Math	$n (4 n - 3)$	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	Modèle:OEIS2C
11	nombre undécagonal	Modèle:Math	$\frac{n (9 n - 7)}{2}$	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	Modèle:OEIS2C
12	nombre dodécagonal	Modèle:Math	$n (5 n - 4)$	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	Modèle:OEIS2C
...	...		...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10 000	nombre myriagonal	Modèle:Math	$n (4 999 n - 4 998)$	1	10 000	29 997	59 992	99 985	149 976	209 965	279 952	359 937	449 920	Modèle:OEIS2C

Décomposition en nombres triangulaires

On a la relation $P_{k, n} = (k - 2) T_{n} - (k - 3) n$ où $T_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ est le n-ième nombre triangulaire. Ceci provient de la décomposition du polygone en $k - 2$ triangles comme le montre la figure ci-dessous.

Nombre à la fois k-gonal et k-gonal centré

Modèle:Pertinence section Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 3, les premier et (Modèle:Mvar + 1)-ième nombres Modèle:Mvar-gonaux sont aussi [[Nombre polygonal centré|Modèle:Mvar-gonaux centrés]] :

P_{k, 1} = 1 = C_{k, 1} et P_{k, k + 1} = \frac{k^{3} - k^{2} + 2}{2} = C_{k, k} .

Nombre polygonal premier

Modèle:Pertinence section Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 3 :

le 2-ième nombre Modèle:Mvar-gonal, Modèle:Math, peut évidemment être premier ;
mais vu son expression Modèle:Supra, un nombre Modèle:Mvar-gonal de rang Modèle:Mvar ≥ 3 ne peut pas être premier (contrairement à un [[Nombre polygonal centré|nombre Modèle:Mvar-gonal centré]]).

Intérêt

Outre divers jeux arithmético-géométriques, nous avons en arithmétique additive / combinatoire additive le puissant théorème suivant. Modèle:Voir Modèle:Énoncé

Ce théorème a d'abord été énoncé sans preuve par Pierre de Fermat, qui proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique^[4], mais aucun livre ne parut.

Joseph Louis Lagrange a ensuite établi, en 1770, son théorème des quatre carrés :Modèle:Énoncé

Puis, en 1796, Gauss traita le cas des nombres triangulaires.

Enfin, le théorème fut intégralement prouvé par Cauchy en 1813.

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Bibliographie

Modèle:Article

Modèle:Palette Modèle:Portail

↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:MathWorld.
↑ Paul Tannery et Charles Henry, Œuvres de Fermat, t. 3, 1896, p. 252 : Commentaire de Bachet sur IV, 31.

[1] Modèle:Ouvrage

[2] Modèle:Ouvrage

[3] Modèle:MathWorld.

[4] Paul Tannery et Charles Henry, Œuvres de Fermat, t. 3, 1896, p. 252 : Commentaire de Bachet sur IV, 31.

[1]

[2]

[3]

[4]

Nombre polygonal

Sommaire

Exemples : nombres triangulaires et nombres carrés