Nombre dodécagonal

Nombre dodécagonal $D_5=1+11+21+31+41=105$

Un nombre dodécagonal est un nombre figuré polygonal qui peut être représenté graphiquement par des points répartis dans un dodécagone. Le nombre dodécagonal d'ordre $n$ est donné par la formule Modèle:, :

$D_n=n(5n-4)$.

Les premiers nombres dodécagonaux sont :

0, 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, 1920, 2121, 233 2, 2553, 2784, 3025, 3276, 3537, 3808, 4089, 4380, 4681, 4992, 5313, 5644, 5985, 6336, 6697, 7068, 7449, 7840, 8241, 8652, 9073, 9504, 9 945... Modèle:OEIS

Obtention de ces nombres

Pour $n$ points sur chaque côté du polygone extérieur, on ajoute à l'étape $n$ : $12-1$ points sur les sommets et $(12-2)(n-2)$ points à l'intérieur des côtés, d'où $D_n-D_{n-1}=11+10(n-2)=10(n-1)+1$.

Donc $D_n=\sum _{k=1}^n(10(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(10k+1)=5n(n-1)+n=n(5n-4)$.

Propriétés

• $D_n$ est la somme des $n$ premiers entiers naturels congrus à 1 modulo 10.
• $D_n=n+5n(n-1)$ est congru à $n$ modulo 10 et a donc même chiffre des unités que lui.
• $D_n$ est congru à $n$ modulo 2 donc a même parité que lui.
• $D_n$ est la somme du nombre carré d'ordre $n$ et de huit nombres triangulaires d'ordre $n-1$ : $D_n=C_n+8T_{n-1}=n^2+4n(n-1)$ .
• $D_n$ est la somme du nombre hexagonal d'ordre $n$ et de six nombres triangulaires d'ordre $n-1$ : $D_n=H_n+6T_{n-1}=n(2n-1)+3n(n-1)$ .
• $D_n$ est la somme des nombres impairs de $4n+1$ à $6n+1$.

• D'après le théorème des nombres polygonaux de Fermat, tout entier naturel est la somme d'au plus 12 nombres dodécagonaux.

Voir aussi

• Nombre polygonal
• Nombre figuré
• Dodécagone