Nombre décagonal

Cinquième nombre décagonal :$D_5=1+9+17+25+33=85$

En mathématiques, un nombre décagonal est un nombre figuré polygonal qui peut être représenté graphiquement par des points répartis dans un décagone. Le nombre décagonal d'ordre $n$ est donné par la formule Modèle:, :

$D_n=n(4n-3).$.

Les onze premiers nombres décagonaux sont : 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370, 451 (Modèle:OEIS).

Obtention de ces nombres

Avec $n$ points sur chaque côté du polygone extérieur, on ajoute à l'étape $n$ : $10-1$ points sur les sommets et $(10-2)(n-2)$ points à l'intérieur des côtés, d'où $D_n-D_{n-1}=9+8(n-2)=8(n-1)+1$.

Donc $D_n=\sum _{k=1}^n(8(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(8k+1)=4n(n-1)+n=n(4n-3)$.

Propriétés

• $D_n$ est la somme du nombre carré d'ordre $n$ et de six fois le nombre triangulaire d'ordre $n$, autrement dit, $D_n=C_n+6T_{n-1}=n^2+3n(n-1)$ .
• $D_n$ est la somme du nombre pentagonal d'ordre $n$ et de cinq nombres triangulaires d'ordre $n-1$ : $D_n=P_n+5T_{n-1}=\frac{n(3n-1)}{2}+\frac{5n(n-1)}{2}$.

• $D_n=n+8T_{n-1}=n+4n(n-1)$ est congru à $n$ modulo 8 et a donc même parité que lui.

• D'après le théorème des nombres polygonaux de Fermat, tout entier naturel est la somme d'au plus 10 nombres décagonaux.

Références

• Modèle:MathWorldModèle:Références

Voir aussi

• Nombre polygonal
• Nombre figuré
• Décagone
• Nombre décagonal centré