Nombre ennéagonal

Cinquième nombre ennéagonal : $D_5=1+8+15+22+29=75$

En mathématiques, un nombre ennéagonal (ou nombre nonagonal) est un nombre figuré polygonal qui peut être représenté graphiquement par un ennéagone. Pour tout entier n ≥ 1, le nombre ennéagonal d'ordre $n$ est donné par la formule Modèle:, :

$P_{9,n}=\frac{n(7n-5)}{2}$.

Les dix premiers nombres ennéagonaux sont : 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261 et 325 (pour les 10 000 premiers, voir la Modèle:OEIS).

Obtention de ces nombres

Avec $n$ points sur chaque côté du polygone extérieur, on ajoute à l'étape $n$ : $9-1$ points sur les sommets et $(9-2)(n-2)$ points à l'intérieur des côtés, d'où $P_{9,n}-P_{9,n-1}=8+7(n-2)=7(n-1)+1$.

Donc $P_{9,n}=\sum _{k=1}^n(7(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(7k+1)=7n(n-1)/2+n=\frac{n(7n-5)}{2}$.

Propriétés

• $P_{9,n}$ s'obtient en ajoutant le carré de $n$ aux cinq demis du $(n-1)$-ème nombre oblong, autrement dit, $P_{9,n}=n^2+\frac{5}{2}n(n-1)$ .

• La parité des nombres ennéagonaux suit le motif impair-impair-pair-pair.

• D'après le théorème des nombres polygonaux de Fermat, tout entier naturel est la somme d'au plus 9 nombres ennéagonaux.

Voir aussi

• Nombre ennéagonal centré
• Modèle:MathWorld