Icosagone

Un icosagone est un polygone à 20 sommets, donc 20 côtés et 170 diagonales.

La somme des angles internes d'un icosagone non croisé vaut Modèle:Unité.

L'icosagone régulier est constructible.

Icosagones réguliers

Un icosagone régulier est un icosagone dont les 20 côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a quatre : trois étoilés (les icosagrammes notés {20/3}, {20/7} et {20/9}) et un convexe (noté {20}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'icosagone régulier ».

L'icosagone régulier convexe {20} et ses angles remarquables.

• Les trois icosagones réguliers étoilés
• 
  {20/3} (angle interne : 126°)
• 
  {20/7} (angle interne : 54°)
• 
  {20/9} (angle interne : 18°)

Caractéristiques de l'icosagone régulier

Chacun des 20 angles au centre mesure $\frac{360^{\circ }}{20}=18^{\circ }$ et chaque angle interne mesure $\frac{3240^{\circ }}{20}=162^{\circ }$.

Si Modèle:Math est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut $P=20a$ ;
• l'aire vaut $A=5a^2\cot \left(\frac{\pi }{20}\right)$, soit :

$A=5a^2(1+\sqrt{5}+\sqrt{5+2\sqrt{5}})$ ;

• l'apothème vaut $H=\frac{2A}{P}=\frac{a}{2}\cot \left(\frac{\pi }{20}\right)$ ;
• le rayon vaut $R=\frac{H}{\cos \left(\frac{\pi }{20}\right)}=\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi }{20}\right)}$.

Constructibilité

On peut construire l'icosagone à partir du décagone (obtenu lui-même d'une façon ou d'une autre), de la même façon qu'on construit ce dernier à partir du pentagone : par bissection.

Variante (animation) sur Commons, à partir de l'une des constructions du dodécagone.

On pouvait le prévoir grâce au théorème de Gauss-Wantzel, puisque 20 est le produit de 4 (puissance de 2) par 5 (nombre premier de Fermat).

Voir aussi

Articles connexes

• Expression des lignes trigonométriques pour les premiers multiples de 3° (9° = Modèle:Math rad)
• Svastika (un icosagone simple non régulier et non convexe)