Table de lignes trigonométriques exactes

Cercle trigonométrique et angles remarquables

Cette table de lignes trigonométriques exactes rassemble certaines valeurs des fonctions trigonométriques sinus, cosinus, tangente et cotangente sous forme d'expressions algébriques à l'aide de racines carrées de réels, parfois imbriquées. Ces expressions sont obtenues à partir des valeurs remarquables pour les angles de 30° (dans le triangle équilatéral) et de 36° (dans le pentagone régulier) et à l'aide des identités trigonométriques de duplication et d'addition des angles.

Cette table est nécessairement incomplète, dans le sens où il est toujours possible de déduire une expression algébrique pour l'angle moitié ou l'angle double. En outre, de telles expressions sont en théorie calculables pour les angles de tout polygone régulier dont le nombre de côtés est un nombre premier de Fermat, or ici seuls les deux premiers ont été exploités : 3, 5.

Tables de valeurs

Dans un polygone régulier à Modèle:Mvar côtés, inscrit dans un cercle de rayon Modèle:Mvar, l'apothème et le demi-côté valent respectivement Modèle:Formule et Modèle:Formule. Ces égalités relient naturellement les lignes trigonométriques des angles Modèle:Formule radians avec les polygones réguliers à Modèle:Mvar côtés.

Table de lignes trigonométriques exactes pour quelques angles $⩽\frac{\pi }{4}$

angle	sinus	cosinus	tangente	cotangente	polygone régulier
$0^{\circ }=0$ rad	$0$	$1$	$0$	non défini
$15^{\circ }=\frac{\pi }{12}$ rad	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	dodécagone
$18^{\circ }=\frac{\pi }{10}$ rad	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}$	$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$	$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	décagone
$22,5^{\circ }=\frac{\pi }{8}$ rad	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}-1$	$\sqrt{2}+1$	octogone
$30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$ rad	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{3}$	hexagone
$36^{\circ }=\frac{\pi }{5}$ rad	$\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}$	pentagone
$45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$ rad	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	carré

Par soustraction $(18^{\circ }-15^{\circ }),$ on obtient une expression pour les lignes trigonométriques d'un angle de $3^{\circ }$ c'est-à-dire $\frac{\pi }{60}$ rad, puis de tous ses multiples.

Expression des lignes trigonométriques pour les premiers multiples de 3°

Angle	sinus	cosinus	tangente	cotangente
3° (polygone régulier à 60 côtés)	$\frac{2(1-\sqrt{3})\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)(\sqrt{3}+1)}{16}$	$\frac{2(1+\sqrt{3})\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)(\sqrt{3}-1)}{16}$	$\frac{((2-\sqrt{3})(3+\sqrt{5})-2)(2-\sqrt{2(5-\sqrt{5})})}{4}$	$\frac{((2+\sqrt{3})(3+\sqrt{5})-2)(2+\sqrt{2(5-\sqrt{5})})}{4}$
6° (polygone régulier à 30 côtés)	$\frac{\sqrt{6}\sqrt{5-\sqrt{5}}-(\sqrt{5}+1)}{8}$	$\frac{\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8}$	$\frac{\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2}$	$\frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{50+22\sqrt{5}}}{2}$
9° (polygone régulier à 20 côtés)	$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}$	$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}$	$\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	$\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}$
12° (polygone régulier à 15 côtés)	$\frac{\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8}$	$\frac{\sqrt{6}\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}$	$\frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{50-22\sqrt{5}}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2}$
15° (dodécagone régulier)	$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$
18° (décagone régulier)	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}$	$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$	$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$
21°	$\frac{2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(1+\sqrt{5})}{16}$	$\frac{2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{5})}{16}$	$\frac{(1+2\sqrt{3}-\sqrt{5})\sqrt{5-2\sqrt{5}}+(2+\sqrt{3})(\sqrt{5}-3)+2}{2}$	$\frac{(2-(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5}))(2+\sqrt{2(5+\sqrt{5})})}{4}$
24°	$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}$	$\frac{\sqrt{6}\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{5}+1}{8}$	$\frac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{2}$	$\frac{\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2}$
27°	$\frac{2\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)}{8}$	$\frac{2\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)}{8}$	$\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}$
30° (hexagone régulier)	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
33°	$\frac{2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)}{16}$	$\frac{2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(1-\sqrt{3})(\sqrt{5}-1)}{16}$	$\frac{(-15+10\sqrt{3}-7\sqrt{5}+4\sqrt{15})\sqrt{5(5-2\sqrt{5})}+5(\sqrt{3}-2)(3+\sqrt{5})+10}{10}$	$\frac{(2-(2+\sqrt{3})(3+\sqrt{5}))(2-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}})}{4}$
36° (pentagone régulier)	$\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}$
39°	$\frac{2(1-\sqrt{3})\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{5})}{16}$	$\frac{2(1+\sqrt{3})\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)}{16}$	$\frac{(\sqrt{2(5+\sqrt{5})}-2)((2-\sqrt{3})(\sqrt{5}-3)+2)}{4}$	$\frac{((2+\sqrt{3})(3-\sqrt{5})-2)(2+\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}})}{4}$
42°	$\frac{\sqrt{6}\sqrt{5+\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}{8}$	$\frac{\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8}$	$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2}$	$\frac{\sqrt{50-22\sqrt{5}}+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{2}$
45° (carré)	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$

Il n'existe pas d'expression algébrique des lignes trigonométriques à l'aide de radicaux réels pour l'angle de 1° ni, ce qui est équivalent — par différence Modèle:Infra avec celles pour 39° ci-dessus — pour l'angle de 40°, mais il en existe une formulée à l'aide de racines cubiques de nombres complexes. Ce n'est pas utile pratiquement, car pour calculer une racine cubique d'un nombre complexe, il faut calculer le cosinus d'un angle. Modèle:Indente Modèle:Indente

Applications

Ces constantes peuvent être utilisées pour exprimer le volume du dodécaèdre régulier en fonction de son arête Modèle:Math : Modèle:Indente Modèle:...

Construction

Lignes élémentaires

Représentation géométrique des angles de 0, 30, 45, 60, et 90 degrés.

Les lignes trigonométriques pour les angles de 0°, 90°, 45°, 30° et 60° peuvent être calculés dans le cercle trigonométrique à l'aide du théorème de Pythagore.

Moyen mnémotechniqueModèle:Ancre

On peut restituer une partie de la table en considérant la suite Modèle:Math, pour Modèle:Mvar allant de 0 à 4 :

Angle	sinus
$0^{\circ }=0$ rad	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$
$30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$ rad	$\frac{\sqrt{1}}{2}=0,5$
$45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$ rad	$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$
$60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$ rad	$\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$
$90^{\circ }=\frac{\pi }{2}$ rad	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$

La table des cosinus est obtenue en inversant celle des sinus.

Triangles fondamentaux

Polygone régulier à Modèle:Mvar sommets et son triangle rectangle fondamental, d'angle au centre Modèle:Math.

La dérivation des valeurs particulières de sinus, cosinus et tangente est basée sur la constructibilité de certains polygones réguliers. Un Modèle:Mvar-gone régulier se décompose en Modèle:Math triangles rectangles dont les trois sommets sont le centre du polygone, l'un de ses sommets, et le milieu d'une arête adjacente à ce sommet. Les angles d'un tel triangle sont Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math.

Les constantes fondamentales sont associées aux polygones réguliers dont le nombre de côtés est un nombre premier de Fermat. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et Modèle:Nobr

Addition et différence d'angles

Grâce à l'identité de Bézout et aux formules d'addition et de différence, on peut déduire de ces constantes fondamentales celles des angles au centre de polygones réguliers dont le nombre de côtés est un produit de nombres premiers de Fermat distincts, ainsi que des multiples entiers de tels angles. Par exemple,

$\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{15}& =\cos (2\times \frac{\pi }{5}-\frac{\pi }{3})\\ & =\cos \frac{\pi }{3}(1-2{\sin }^2\frac{\pi }{5})+2\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{5}\cos \frac{\pi }{5}\\ & =\frac{1}{2}(1-\frac{5-\sqrt{5}}{4})+\sqrt{3}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}\frac{1+\sqrt{5}}{4}\\ & =\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{6}\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8}.\end{array}$

Division d'un angle en deux

Les formules d'angle moitié permettent d'en déduire une infinité de constantes supplémentaires. Par exemple, à partir de Modèle:Math, on trouve :

$\cos \frac{\pi }{2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots \sqrt{2}}}}{2}$,

où le numérateur comporte Modèle:Mvar signes Modèle:Sqrt.

Simplification des expressions

Modèle:Article détaillé Outre les simplifications élémentaires usuelles, on peut parfois désimbriquer des racines : pour réduire

$\sqrt{a\pm \sqrt{b}}$

(avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar rationnels, Modèle:Math et Modèle:Math), il suffit que le réel

$\sqrt{a^2-b}$

soit rationnel.

Exemples

$\cos \frac{\pi }{12},\cos \frac{5\pi }{12}=\sqrt{\frac{1\pm \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2\pm \sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{3/2}\pm \sqrt{1/2}}{2}=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{4}$.

$\sin \frac{\pi }{10}=\sqrt{\frac{1-\frac{1+\sqrt{5}}{4}}{2}}=\frac{\sqrt{6-\sqrt{20}}}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

Voir aussi

Articles connexes

• Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques
• Théorème de Niven

Liens externes

• Modèle:MathWorld et les articles liés dans son § « Modèle:Lang »
• Modèle:En Regular Polygon, sur mathforum.org
• Modèle:En Naming Polygons and Polyhedra, sur mathforum.org
• Une suite de vidéos sur la trigonométrie. La 17e vidéo montre comment obtenir la valeur exacte de sin(3°), de cos(3°) et d'autres angles multiples de 3°.
• Une suite de vidéos sur la construction à la règle et au compas. La 4e vidéo montre qu'il n'est pas possible d'exprimer la valeur exacte de cos(20°) à l'aide des nombres rationnels, des quatre opérations et de l'extraction de la racine carrée.