Théorème de Niven

En mathématiques, le théorème de Niven, d'après Ivan Niven, énonce que les seules valeurs rationnelles θ dans l'intervalle 0° ≤ θ ≤ 90° telles que leur sinus soit aussi rationnel sont:

$\begin{array}{cc}\sin 0^{\circ }& =0,\\ \sin 30^{\circ }& =\frac{1}{2},\\ \sin 90^{\circ }& =1.\end{array}$

Ce théorème apparaît comme le corollaire 3.12 de l'ouvrage de Niven sur les nombres irrationnels.

Le théorème s'étend à d'autres fonctions trigonométriques. Pour des valeurs rationnelles de θ, les seules valeurs rationnelles du sinus et cosinus sont 0, ±1/2, et ±1 ; les seules valeurs rationnelles de la sécante et de la cosécante sont ±1 et ±2 ; et pour la tangente et cotangente, ce sont 0 et ±1.

Articles connexes

• Triplets pythagoriciens
• Fonction trigonométrique

Bibliographie

• Modèle:Article
• Modèle:Article
•  Modèle:Cite arxiv

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Une Modèle:Endémonstration sur le ProofWiki.