Hexacontagone

Un hexacontagone régulier.

Un hexacontagone est un polygone à 60 sommets, donc 60 côtés et Modèle:Unité.

La somme des angles internes d'un hexacontagone non croisé vaut Modèle:Unité.

L'hexacontagone régulier est constructible.

Hexacontagones réguliers

Un hexacontagone régulier est un hexacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a huit : sept étoilés (notés {60/k} pour k impair de 7 à 29 sauf les multiples de 3 ou 5) et un convexe (noté {60}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'hexacontagone régulier ».

• Les huit hexacontagones réguliers avec, pour chacun, le symbole de Schläfli et l'angle interne.
• 
  {60}, 174°
• 
  {60/7}, 138°
• 
  {60/11}, 114°
• 
  {60/13}, 102°
• 
  {60/17}, 78°
• 
  {60/19}, 66°
• 
  {60/23}, 42°
• 
  {60/29}, 6°

Caractéristiques de l'hexacontagone régulier

Chacun des 60 angles au centre mesure $\frac{360^{\circ }}{60}=6^{\circ }$ et chaque angle interne mesure $\frac{10440^{\circ }}{60}=174^{\circ }$.

Si Modèle:Math est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut $P=60a$ ;
• l'aire vaut $A=15a^2\cot \left(\frac{\pi }{60}\right)$ ;
• l'apothème vaut $H=\frac{2A}{P}=\frac{a}{2}\cot \left(\frac{\pi }{60}\right)$ ;
• le rayon vaut $R=\frac{H}{\cos \left(\frac{\pi }{60}\right)}=\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi }{60}\right)}$.

Constructibilité

L'hexacontagone régulier est constructible à la règle et au compas, par exemple par bissection du triacontagone.

On pouvait le prévoir grâce au théorème de Gauss-Wantzel, puisque 60 est le produit de 4 (puissance de 2) par 3 et 5 (nombres premiers de Fermat distincts).

Articles connexes

Expression des lignes trigonométriques pour les premiers multiples de 3° = Modèle:Unité