Radical imbriqué

En mathématiques, en particulier en algèbre, les radicaux imbriqués (ou radicaux emboités) sont des expressions contenant des racines d'expressions contenant elles-mêmes des racines.

Par exemple $\sqrt{5-2\sqrt{5}}$ qui apparaît dans l'étude du pentagone régulier, ou d'autres plus complexes telles que $\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}}$.

Désimbrication de radicaux

Problème général

On peut désimbriquer certains radicaux imbriqués. Par exemple :

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\frac{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}$.

Mais la désimbrication de radicaux est généralement considérée comme un problème difficile.

Dans certains cas, des radicaux de puissances plus hautes peuvent être nécessaires pour enlever l'imbrication de certaines classes de radicaux imbriqués.

Un cas simple

Un cas particulier abordable est celui où un réel représenté par deux racines carrées imbriquées s'exprime comme une somme ou différence de deux racines carrées. Par exemple :

$\sqrt{3+\sqrt{8}}=1+\sqrt{2}$ ;

$\sqrt{5-\sqrt{24}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ ;

$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$.

Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des rationnels positifs tels que Modèle:Math soit irrationnel et inférieur à Modèle:Mvar, pour pouvoir mettre

$\sqrt{a+\sqrt{b}}$ou$\sqrt{a-\sqrt{b}}$

sous la forme

$\sqrt{c}+\epsilon \sqrt{d}(c,d\in {\mathbb{Q}}_{+},c⩾d,\epsilon =\pm 1),$

il faut et il suffit que le nombre

$R=\sqrt{a^2-b}$

soit rationnel. La solution est alors :

$\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{c}\pm \sqrt{d}$

avec

$c=\frac{a+R}{2}\text{et}d=\frac{a-R}{2}.$

Quelques identités de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan a démontré un certain nombre d'identités impliquant l'imbrication de radicaux. Parmi celles-ci figurent les suivantes :

$\sqrt[4]{\frac{3+2\sqrt[4]{5}}{3-2\sqrt[4]{5}}}=\frac{\sqrt[4]{5}+1}{\sqrt[4]{5}-1}$,

$\sqrt{\sqrt[3]{28}-\sqrt[3]{27}}=\frac{\sqrt[3]{98}-\sqrt[3]{28}-1}{3}$,

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{32}{5}}-\sqrt[5]{\frac{27}{5}}}=\sqrt[5]{\frac{1}{25}}+\sqrt[5]{\frac{3}{25}}-\sqrt[5]{\frac{9}{25}}$,

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$.

Voici d'autres simplifications de radicaux inspirées par Ramanujan :

$\sqrt[4]{8a^2-1}+\sqrt[4]{(8a^2-1{)}^2-1}=\sqrt{a+\frac{1}{2}}+\sqrt{a-\frac{1}{2}}$,

$\sqrt[4]{8a^2-1}-\sqrt[4]{(8a^2-1{)}^2-1}=\sqrt{a+\frac{1}{2}}-\sqrt{a-\frac{1}{2}}$.

Algorithme de Landau

En 1989, Susan Landau a présenté le premier algorithme pour décider quels radicaux imbriqués peuvent être simplifiés. Modèle:Évasif L'algorithme de Landau utilise des racines de l'unité et s'exécute en un temps exponentiel par rapport à la profondeur du radical imbriqué . Modèle:...

En trigonométrie

Modèle:Article détaillé Les sinus, cosinus et tangente d'un multiple rationnel Modèle:Mvar de [[Pi|Modèle:Math]] s'expriment en termes de rationnels et de radicaux réels (en fait, des racines carrées) éventuellement imbriqués si et seulement si Modèle:Mvar s'écrit comme une fraction dont le dénominateur a pour indicatrice d'Euler une puissance de 2.

Par exemple :

• $\phi (60)=2^4\text{et}\cos \frac{7\pi }{60}=\frac{2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{5})}{16}$ ;
• $\phi (24)=2^3\text{et}\sin \frac{\pi }{24}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2}$.

Imbrication infinie de radicaux

Racine carrée

Pour tous réel Modèle:Math, on démontreModèle:, que la suite récurrente Modèle:Math définie par

$u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{r+s{u}_n}$

est strictement croissante et converge vers la solution de Modèle:Math, c'est-à-dire la racine positive Modèle:Sfrac de l'équation du second degré Modèle:Math, ce qui constitue une définition du nombre

$\sqrt{r+s\sqrt{r+s\sqrt{r+s\sqrt{r+\cdots }}}}$.

Par exemple :

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}}=2$.

ou encore :

$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots }}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$ (voir nombre d‘or)

et plus généralement :

$\sqrt{1+p\sqrt{1+p\sqrt{1+p\sqrt{1+\cdots }}}}=\frac{p+\sqrt{p^2+4}}{2}={\phi }_p$, p-ième nombre métallique, nombre d'argent pour Modèle:Mvar = 2.

De mêmeModèle:,, pour tous réels Modèle:Math tels que Modèle:Math,

$\sqrt{r-s\sqrt{r-s\sqrt{r-s\sqrt{r-\cdots }}}}$,

défini comme limite d'une suite, est la racine positive Modèle:Sfrac de l'équation Modèle:Math.

Par exemple :

$\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\cdots }}}}=1$.

Radicaux infinis de Ramanujan

Ramanujan a posé le problème suivant au Journal of the Indian Mathematical Society :

Trouver la valeur de $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots }}}$ et de $\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+\cdots }}}$

et l'a résolu ainsi :

Pour Modèle:Math ou Modèle:Math, posons $f_p(n)=n(n+p)$. Alors, $f_p(n)=n\sqrt{a_{p}n+b_p+f_p(n+1)}$, avec $a_p$ et $b_p$ choisis de telle façon que

$(n+p{)}^2=(n+1)(n+1+p)+a_{p}n+b_p$ (Modèle:C.-à-d. $a_p=p-2$ et $b_p=p^2-p-1$) donc

$n+p=\sqrt{a_{p}n+b_p+(n+1)\sqrt{a_p(n+1)+b_p+(n+2)\sqrt{a_p(n+2)+b_p+(n+3)\sqrt{\dots }}}}$.

(la convergence, pour tous réels Modèle:Math et Modèle:Math, est justifiée par un théorème ultérieur dû à Tirukkannapuram Vijayaraghavan). En particulier :

$n+2=\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{\dots }}}}$, d'où $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\dots }}}=3$ ;

$n+3=\sqrt{n+5+(n+1)\sqrt{n+6+(n+2)\sqrt{n+7+\dots }}}$, d'où $\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+\dots }}}=4$.

Le critère de convergence de Vijayaraghavan a été généralisé par HerschfeldModèle:, :

Pour tous réels Modèle:Math tels que la série $\sum _{n\ge 1}\prod _{1\le i\le n}\frac{1}{s_i}$ converge et pour tous réels positifs Modèle:Mvar, le radical imbriqué $\sqrt[s_1]{a_1+\sqrt[s_2]{a_2+\sqrt[s_3]{a_3+\cdots }}}$ converge si et seulement si la suite $\left(\sqrt[s_1\dots s_n]{a_n}\right)$ est majorée.

Herschfeld donne comme exemple introductif Modèle:Math et calcule : $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\dots }}}\approx 1,757933$ , voir la Modèle:OEIS.

Ramanujan a résolu dans son Cahier perdu le radical infini suivant où le schéma périodique des signes est (+, +, –, +) :

$\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\cdots }}}}}}}=\frac{2+\sqrt{5}+\sqrt{15-6\sqrt{5}}}{2}$ (voir la Modèle:OEIS).

Expression de Viète pour Modèle:Math

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$.

Racine cubique

Pour tous réels Modèle:Math, par la même méthode que ci-dessus pour les racines carrées, on définit le nombre

$\sqrt[3]{r+s\sqrt[3]{r+s\sqrt[3]{r+s\sqrt[3]{r+\cdots }}}}$

comme la limite d'une suite croissante, qui converge vers la racine réelle positive de l'équation cubique Modèle:Math.

Par exemple :

$\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\cdots }}}}=\psi$, nombre plastique.

De même, pour tous réels Modèle:Math tels que Modèle:Math,

$\sqrt[3]{r-s\sqrt[3]{r-s\sqrt[3]{r-s\sqrt[3]{r-\cdots }}}}$

est la racine réelle de Modèle:Math.

Racine Modèle:Mvar-ième

• $\sqrt[n-1]{x}=\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\dots }}}$ pour tout entier Modèle:Math
• $\sqrt[n]{2-\sqrt[n]{2-\sqrt[n]{2-\sqrt[n]{2-\cdots }}}}=1$ pour tout entier Modèle:Math

Voir aussi

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Méthode de Cardan
• Somme de radicaux

Bibliographie

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Liens externes

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