Nombre d'argent

Modèle:Ébauche L'appellation nombre d'argent, ou proportion d'argent, a été proposée pour diverses généralisations du nombre d'or ; la plus courante est celle qui fait du nombre d'argent le deuxième nombre métallique.

$\frac{2a+b}{a}=\frac{a}{b}$ : le grand rectangle est semblable au rectangle jaune. Ce sont des rectangles d'argent, de format le nombre d'argent.

Définitions

Le nombre d'argent est défini en géométrie comme l'unique rapport Modèle:Math entre deux longueurs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar telles que le rapport de la somme Modèle:Math sur Modèle:Mvar soit égal à celui de Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar, ce qui s'écrit :

$\frac{2a+b}{a}=\frac{a}{b}$

Noté

${\delta }_{Ag}$

ou

${\phi }_2$

, il est l'unique solution positive de l'équation

$2+\frac{1}{x}=x$

, soit

$x^2=2x+1$

.

Il est égal à $1+\sqrt{2}\approx 2,414213562$ (Modèle:OEIS).

Nombre d'argent dans l'octogone régulier

Il peut aussi être écrit comme la fraction continue purement périodique [[[:Modèle:Surligner]]] :

${\phi }_2=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}$

ou comme radical imbriqué infini ${\phi }_2=\sqrt{1+2\sqrt{1+2\sqrt{1+2\sqrt{1+\cdots }}}}$.

Propriétés

Lien avec les suites de Pell

De même que le nombre d'or est relié à toute suite de Fibonacci généralisée, le nombre d'argent est relié à toute suite de Pell généralisée, vérifiant $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n$ ; le terme général d'une telle suite s'écrit en effet $u_n=A(1+\sqrt{2}{)}^n+B(1-\sqrt{2}{)}^n=A{\phi }_2^n+B{\phi }_2{\text{'}}^n$ où ${{\phi }_2}^{\prime }=1-\sqrt{2}$ est l'autre solution de $x^2=2x+1$.

Par exemple, pour la suite de Pell proprement dite définie par $P_0=0,P_1=1,\mathrm{\forall }n⩾0P_{n+2}=2P_{n+1}+P_n$, le terme général s'écrit :

$P_n=\frac{{\phi }_2^n-{\phi }_2{\text{'}}^n}{{\phi }_2-{{\phi }_2}^{\prime }}$, formule analogue à la formule de Binet pour la suite de Fibonacci.

La suite de Pell-Lucas $(Q_n)$ de premiers termes $Q_0=Q_1=2$ vérifie $Q_n={\phi }_2^n+{\phi }_2{\text{'}}^n$.

De plus, pour toute suite vérifiant $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n$ de limite infinie, le nombre d'argent est la limite des rapports successifs $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.

Inversement, les puissances successives du nombre d'argent vérifient ${\phi }_2^n=P_n{\phi }_2+P_{n-1}$.

Propriété d'approximation diophantienne

Le nombre d'argent étant un nombre de Pisot-Vijayaraghavan, il possède une propriété rare d'approximation diophantienne : la suite des parties fractionnaires de ses puissances tend vers 0.

Rectangles d'argent

Un rectangle dont le rapport de la longueur à la largeur est égal au nombre d'argent est parfois appelé « rectangle d'argent », par analogie avec le rectangle d'or.

Mais cette expression est ambiguë : « rectangle d'argent » peut aussi désigner un rectangle de proportion Modèle:Sqrt, aussi connu sous le nom de rectangle A4, en référence au format de papier A4.

Les rectangles d'argent de l'un ou l'autre type ont la propriété qu'en leur enlevant deux carrés maximaux, on on obtient un rectangle semblable. En effet, en retirant le plus grand carré possible d'un rectangle d'argent d'un des deux types, on obtient un rectangle d'argent de l'autre type, si bien qu'en recommençant, on retrouve un rectangle d'argent du même type que l'original, mais réduit d'un facteur Modèle:Nobr.

Irrationalité

En retirant deux carrés de côté q d'un rectangle de côté q et p + q=q(√2 + 1), on obtient un rectangle de côtés q(√2 - 1) et q, donc semblable au précédent. La figure peut se reproduire indéfiniment.

L'irrationalité du nombre d'argent, et donc de Modèle:Sqrt, se déduit d'une descente infinie mise en évidence par la construction ci-contre.

On construit un rectangle de base Modèle:Nobr et de hauteur q, avec p = qModèle:Racine. Le rapport Modèle:Nobr est égal au nombre d'argent Modèle:Nobr.

L'objectif est de remplir le rectangle de carrés les plus grands possible. Le plus grand côté possible pour les premiers carrés est q, car la hauteur est égale à q. Comme Modèle:Nobr est plus grand que 2q et strictement plus petit que 3q, on peut construire deux carrés de côté q, en rouge sur la figure. La zone restante (en bleu sur la figure) est un rectangle de côtés q et Modèle:Nobr. Or on dispose de la formule :

$\frac{p+q}{q}=\frac{q}{p-q}.$

Elle indique que le rectangle initial et le bleu sont semblables, la proportion entre les deux étant le rapport Modèle:Nobr. Il est alors possible de remplir la zone restante d'exactement deux carrés de taille maximale, comme précédemment et la zone restante est encore un rectangle semblable à l'initial. Finalement on obtient deux carrés de côté q, puis deux carrés de côté Modèle:Nobr fois plus petits que les premiers, puis deux carrés de côté Modèle:Nobr fois plus petits que les précédents et la suite ne s'arrête jamais.

S'il existait une unité telle que la longueur de la base et celle de la hauteur soient des entiers, alors les côtés des différents carrés seraient toujours des entiers, ce qui garantit que la suite finirait par s'arrêter, car des carrés de côtés entiers ne peuvent devenir infiniment petits. La proportion d'argent Modèle:Nobr n'est donc pas rationnelle.

Autre propositions d'appellation "nombre d'argent"

Première proposition

Le nombre d'or étant la solution positive de l'équation $x^2=x+1$, équation caractéristique de la récurrence de Fibonacci : $u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$, il a été proposé que le nombre d'argent soit la solution positive de l'équation $x^3=x^2+x+1$, équation caractéristique de la récurrence  : $u_n=u_{n-1}+u_{n-2}+u_{n-3}$.

Mais cette récurrence ayant été désignée, par un jeu de mots, récurrence de Tribonacci, la constante associée s'appelle désormais constante de Tribonacci, égale à environ $1,8392867552141612$.

Deuxième proposition

Dans la même veine, on trouve aussi le premier nombre de Pisot-Vijayaraghavan, unique solution positive de l'équation $x^3=x+1$, équation caractéristique de la récurrence de Padovan : $u_n=u_{n-2}+u_{n-3}$, mais il a été rétrogradé au rang de nombre plastique, ou constante de Padovan.

Troisième proposition

L'inverse du nombre d'or étant égal à $2\sin 18^{\circ }=2\sin \frac{\pi }{10}$, il a été proposé que le nombre d'argent noté $u$ soit égal à $2\sin 10^{\circ }=2\sin \frac{\pi }{18}\approx 0,3472963554$.

Il est la racine positive de l'équation $x^3=3x-1$, associée à la récurrence $u_n=3u_{n-2}-u_{n-3}$.Modèle:Refnec

La courbe de Lissajous $x=\sin (u)$ et $y=\sin (3u)$ (cubique) est très liée à ce problème, de même que la quintique $x=\sin (u)$ et $y=\sin (5u)$.

Triangle d'argent

Cette appellation est parfois donnée à un triangle (voir à triangle d'or). Ses dimensions sont liées au nombre d'or et non au nombre d'argent, il faut donc lui préférer l’appellation gnomon d'or.

Voir aussi

Articles connexes

• Nombres métalliques
• Octogone
• Racine carrée imbriquée