Racine d'un nombre

En mathématiques, une racine Modèle:Math-ième d'un nombre Modèle:Math est un nombre Modèle:Math tel que Modèle:Math, où Modèle:Math est un entier naturel non nul.

Selon que l'on travaille dans l'ensemble des réels positifs, l'ensemble des réels ou l'ensemble des complexes, le nombre de racines Modèle:Math-ièmes d'un nombre peut être 0, 1, 2 ou Modèle:Math.

Pour un nombre réel Modèle:Math positif, il existe un unique réel Modèle:Math positif tel que Modèle:Math. Ce réel est appelé la racine Modèle:Math-ième de Modèle:Math (ou racine n-ième principale de Modèle:Math) et se note Modèle:Sqrt avec le symbole radical (Modèle:Sqrt) ou Modèle:Math. La racine la plus connue est la racine carrée d'un réel. Cette définition se généralise pour Modèle:Math négatif et Modèle:Math négatif à condition que Modèle:Math soit impair.

Le terme de racine d'un nombre ne doit pas être confondu avec celui de racine d'un polynôme qui désigne la (ou les) valeur(s) où le polynôme s'annule.

Racine d'un réel

Racine carrée

Pour tout réel Modèle:Math strictement positif, l'équation xModèle:2 = Modèle:Math admet deux solutions réelles opposées, et lorsque Modèle:Math = 0, l'équation xModèle:2 = 0 admet comme seule solution 0.

La racine carrée d'un réel positif Modèle:Math est par définition l'unique solution réelle positive de l'équation xModèle:2 = Modèle:Math d'inconnue x.

Elle est notée Modèle:Sqrt.

Exemples

• La racine carrée de deux est Modèle:Sqrt = Modèle:Nombre.
• Celle de trois est Modèle:Sqrt = Modèle:Nombre.

Racine cubique

La racine cubique d'un réel r quelconque est l'unique racine réelle de l'équation

$x^3-r=0$ d'inconnue x.

Elle est notée $\sqrt[3]{r}$ .

Exemple :

• On a $\sqrt[3]{-8}=-2$. En effet $-2$ est le seul nombre réel dont la puissance troisième est égale à $-8$.

Racine n-ième d'un nombre réel positif

Pour tout entier naturel non nul $n$, l'application $x\mapsto x^n$ est une bijection de ${ℝ}_{+}$ sur ${ℝ}_{+}$ et donc pour tout réel $r$ positif, l'équation $x^n=r$ admet une unique solution dans ${ℝ}_{+}$.

La racine énième (ou racine n-ième) d'un réel r positif (r ≥ 0, n > 0) est l'unique solution réelle positive de l'équation

$x^n-r=0$ d'inconnue x.

Elle est notée $\sqrt[n]{r}$.

Remarquons que la racine n-ième de $r$ est aussi l'unique racine positive du polynôme $X^n-r$.

Lorsque n est pair, l'équation

$x^n-r=0$ d'inconnue x

possède deux solutions qui sont $\sqrt[n]{r}$ et $-\sqrt[n]{r}$.

Lorsque n est impair, l'équation

$x^n-r=0$ d'inconnue x

ne possède qu'une seule solution $\sqrt[n]{r}$.

Racine n-ième d'un nombre réel négatif

Le traitement des racines de nombres négatifs n'est pas uniforme. Par exemple, il n'existe pas de racine carrée réelle de -1 puisque pour tout réel $x$, $x^2+1>0$, mais la racine cubique de -27 existe et est égale à -3.

Pour tout entier naturel impair $n$, l'application $x\mapsto x^n$ est une bijection de $ℝ$ sur $ℝ$ donc tout nombre réel admet exactement une racine $n$-ième.

Pour tout entier naturel impair $n$, la racine énième (ou racine $n$-ième) d'un réel $r$ quelconque est l'unique solution réelle de l'équation

$x^n-r=0$

d'inconnue $x$.

Il s'ensuit que les racines d'ordres impairs de nombres réels négatifs sont négatives.

Remarquons que pour les entiers naturels impairs $n$ et pour tout réel $a$, on a

$\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}$.

Le besoin de travailler avec des racines de nombres négatifs a conduit à la mise en place des nombres complexes, mais il y a également dans le domaine des nombres complexes des restrictions pour les racines. Voir ci-dessous.

Les propriétés des racines

Les règles de calcul des racines découlent des propriétés des puissances.

Pour les nombres strictement positifs, $a$ et $b$, on a les règles de calcul suivantes :

• $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$
• $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
• ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$

Dans le cas des nombres négatifs, ces règles de calcul ne pourront être appliquées que si $m$ et $n$ sont des nombres impairs. Dans le cas des nombres complexes, elles sont à éviter.

Exposant fractionnaire

Dans l'ensemble des réels strictement positifs, le nombre qui, élevé à la puissance Modèle:Math, donne Modèle:Math est noté $\sqrt[n]{a}$. L'idée est de noter ce nombre comme une puissance de Modèle:Math, quitte à prendre un exposant non entier. Il s'agissait donc de trouver un exposant Modèle:Math tel que ${\left(a^p\right)}^n=a$. En utilisant des opérations connues sur des exposants entiers que l'on généraliserait à des exposants non entiers, on obtiendrait $a^{pn}=a^1$, soit Modèle:Math = 1 et $p=\frac{1}{n}$.

Ainsi on peut noter la racine carrée de Modèle:Math , $\sqrt{a}$ ou $a^{\frac{1}{2}}$, la racine cubique de Modèle:Math , $\sqrt[3]{a}$ ou $a^{\frac{1}{3}}$ et la racine n-ième de Modèle:Math , $\sqrt[n]{a}$ ou $a^{\frac{1}{n}}$.

Cette extension des valeurs possibles pour l'exposant est due au travail de Newton et Leibniz. On peut poursuivre le travail en observant que

$\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m={\left(a^m\right)}^{\frac{1}{n}}={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m=a^{\frac{m}{n}}.$

et vérifier que cette notation est compatible avec les propriétés déjà connues sur les exposants entiers.

C'est chez Newton que l'on voit apparaître pour la première fois un exposant fractionnaire. Mais Newton et Leibniz ne s'arrêteront pas là et se poseront même la question de travailler sur des exposants irrationnels sans être pour autant capables de leur donner un sens. Ce n'est qu'un siècle plus tard que ces notations prendront un sens précis avec la mise en place de la fonction exponentielle et la traduction :

$a^{\frac{1}{n}}=\exp (\frac{1}{n}\ln a)$ pour tout réel Modèle:Math strictement positif.

Fonction racine n-ième

Racine carré et racine cubique comme réciproques des fonctions carré et cube.

Pour tout entier naturel non nul $n$, l'application $x\mapsto x^n$ est une bijection de ℝ₊ sur ℝ₊ dont l'application réciproque est la fonction racine n-ième. Il est donc loisible de construire sa représentation graphique, à l'aide de celle de la fonction puissance par symétrie d'axe la droite d'équation $y=x$.

On remarque que cette fonction est continue sur l'intervalle $[0,+\mathrm{\infty }[$ et l'existence à l'origine d'une tangente confondue avec l'axe des y donc d'une non-dérivabilité en 0 ainsi qu'une branche parabolique d'axe (Ox).

Les formules sur la dérivée de la réciproque permettent d'établir que la fonction racine n-ième est dérivable sur l'intervalle $]0,+\mathrm{\infty }[$ et que sa dérivée est $x\mapsto \frac{\sqrt[n]{x}}{nx}$, soit encore, avec l'exposant fractionnaire $x\mapsto \frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}$ montrant ainsi que la formule sur la dérivée d'une fonction puissance entière se généralise à celle d'une puissance inverse.

Développement en série entière

Le radical ou racine peut être représenté par la série de Taylor au point 1, qui s'obtient à partir de la formule du binôme généralisée : pour tout réel Modèle:Math tel que |Modèle:Math| ≤ 1,

$\sqrt[n]{1-h}=1-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{h}^k\text{ avec }{a}_k=\frac{\frac{1}{n}(1-\frac{1}{n})(2-\frac{1}{n})\cdots (k-1-\frac{1}{n})}{k!}=\frac{\prod _{0<s<k}(sn-1)}{k!n^k}\ge 0.$

En effet, cette égalité, a priori seulement pour |Modèle:Math| < 1, assure en fait la convergence normale sur [–1, 1] puisque

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\underset{N\in {\mathbb{N}}^{*}}{\sup }\sum _{k=1}^N{a}_k=\underset{N\in {\mathbb{N}}^{*},h\in [0,1[}{\sup }\sum _{k=1}^N{a}_k{h}^k=\underset{h\in [0,1[}{\sup }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{h}^k=\underset{h\in [0,1[}{\sup }(1-\sqrt[n]{1-h})=1<+\mathrm{\infty }.$

On peut remarquer (Modèle:Cf. « Théorème d'Eisenstein ») que tous les nModèle:ExpaModèle:Ind sont entiers (dans le cas n = 2, ce sont les nombres de Catalan CModèle:Ind).

Racines d'un complexe

Modèle:Voir Pour tout entier naturel non nul Modèle:Mvar, une racine Modèle:Mvar-ième d'un nombre complexe z est un nombre qui, élevé à la puissance donne z, c'est-à-dire une solution de l'équation

$x^n=z$

d'inconnue Modèle:Math.

Lorsque z est différent de 0, il existe Modèle:Mvar racines Modèle:Math-ièmes distinctes de z. En effet, les racines n-ièmes d'un complexe z non nul sont aussi les racines du polynôme XModèle:Exp – z, qui admet bien n solutions dans l'ensemble des nombres complexes d'après le théorème de d'Alembert-Gauss.

Toutes les racines de n'importe quel nombre, réel ou complexe, peuvent être trouvées avec un simple algorithme. Le nombre doit d'abord être écrit sous la forme $a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }$ (voir la formule d'Euler). Alors, toutes les racines Modèle:Mvar-ièmes sont données par :

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\frac{\phi +2k\pi }{n})}\times \sqrt[n]{a}$

pour $k=0,1,2,\dots ,n-1$, où $\sqrt[n]{a}$ représente la racine Modèle:Mvar-ième principale de Modèle:Mvar.

Nombres réels positifs

Toutes les solutions complexes de $x^n=a$, autrement dit les racines Modèle:Mvar-ièmes de Modèle:Mvar, où Modèle:Mvar est un nombre réel positif, sont données par l'équation simplifiée :

${\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\frac{k}{n}}\times \sqrt[n]{a}$

pour $k=0,1,2,\dots ,n-1$, où $\sqrt[n]{a}$ représente la racine Modèle:Mvar-ième principale de Modèle:Mvar.

Racines de l'unité

Lorsque $z=1$, une telle racine s'appelle une racine Modèle:Mvar-ième de l'unité, et l'ensemble des racines Modèle:Mvar-ièmes de l'unité, noté ${𝒰}_n$, est formé des Modèle:Mvar racines du polynôme complexe

$X^n-1.$

Il s'agit d'un sous-groupe cyclique du groupe multiplicatif des complexes de module 1. Il est formé des éléments $\{1,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{n}},{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{4\pi }{n}},\dots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{(2n-2)\pi }{n}}\}$

On appelle [[racine primitive modulo n|racine Modèle:Mvar-ième primitive de l'unité]] tout générateur du groupe cyclique ${𝒰}_n$. Ces racines primitives sont les éléments ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi }{n}}$ où Modèle:Mvar est premier avec Modèle:Mvar. Leur nombre est égal à $\phi (n)$ où $\phi$ désigne l'indicatrice d'Euler.

Résolution par radicaux

Ludovico Ferrari a démontré que les racines des polynômes du quatrième degré pouvaient, comme pour ceux du deuxième et troisième degré, être calculées par radicaux, c'est-à-dire par un nombre fini d'opérations élémentaires sur les coefficients du polynôme, comportant des calculs de racines n-ièmes. Ceci n'est plus vrai en général pour les équations quintiques ou d'un degré supérieur, comme l'énonce le théorème d'Abel-Ruffini. Par exemple, les solutions de l'équation $x^5=x+1$ ne peuvent pas être exprimées en termes de radicaux. Modèle:Article détaillé

Pour résoudre « numériquement » n'importe quelle équation du n-ième degré, voir l'algorithme de recherche de racines.

Racine en typographie

Légende : 1. Indice ; 2. Radical ; 3. Radicande

En typographie, une racine est composée de trois parties : le radical, l'indice et le radicande.

• Le radical est le symbole de la racine,
• l'indice est le degré de cette racine,
• enfin, le radicande est ce qu'il y a sous le radical.

Voir aussi

Articles connexes

• Algorithme de calcul de la racine n-ième
• Racines de fonctions polynomiales
• Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction
• Algorithme de la potence

Bibliographie

• Modèle:De Ulrich Felgner, Mathematische Semesterberichte,vol. 52, Modèle:Numéro, 2005, Springer, p. 1-7, ISSN 0720-728X (Au sujet de l'origine du signe de racine)
• Modèle:De Hans Kreul et Harald Ziebarth, Mathematik leicht gemacht, Modèle:6e, 2006 Verlag Harri Deutsch. Le chapitre complet sur la racine avec des explications, des exemples et des exercices Modèle:Lien brisé Modèle:ISBN