Théorème d'Eisenstein
Le théorème d'Eisenstein est le résultat suivant de géométrie arithmétique, démontré par Gotthold Eisenstein[1] : Modèle:Énoncé
En particulier si les coefficients Modèle:Math sont rationnels alors les Modèle:Math sont entiers[2], donc les facteurs premiers des dénominateurs des Modèle:Math appartiennent à l'ensemble fini des facteurs premiers de Modèle:Math. Modèle:Citation
Exemple
Modèle:Article détaillé Pour tout entier p > 0,
où les nombres positifs Modèle:Math, qui généralisent ceux de Catalan Modèle:Math (correspondant au cas p = 2) sont entiers, car on déduit de leur série génératrice, Modèle:Retrait la valeur Modèle:Math et la relation de récurrence[3] Modèle:Retrait
Démonstration
Soit N le degré par rapport à la variable Y du polynôme P(X, Y). Il existe alors des polynômes PModèle:Ind(X, Y) (à coefficients algébriques) tels que
Par hypothèse, P(X, y) = 0. De plus, sans perte de généralité, PModèle:Ind(X, y) ≠ 0 — sinon, il suffit de remplacer P(X, Y) par PModèle:Ind(X, Y), qui est non nul et dont le degré en Y est < N.
Soit m la valuation de PModèle:Ind(X, y), c'est-à-dire le plus petit indice k pour lequel le coefficient de XModèle:Exp dans cette série formelle est non nul. On coupe alors y en deux :
Comme on sait que sous les hypothèses du théorème, tous les Modèle:Math sont des nombres algébriques[4], il suffit, pour prouver la propriété annoncée pour y, de la démontrer pour . Or
Par choix de m, le polynôme PModèle:Ind(X, u)XModèle:Exp est divisible par XModèle:Exp mais pas par XModèle:Exp. Comme la somme est nulle, PModèle:Ind(X, u) est donc lui aussi multiple de XModèle:Exp et en divisant par cette puissance de X, on obtient
Les coefficients des polynômes QModèle:Ind sont algébriques. Quitte à les multiplier par un nombre adéquat, on peut donc supposer que ce sont des entiers algébriques et que Modèle:Math est même un entier. Alors, tous les Modèle:Math sont des entiers algébriques, par récurrence sur n ≥ 1. En effet, en isolant le terme de degré n dans
on trouve que Modèle:Math est une combinaison linéaire, à coefficients entiers algébriques, de termes de la forme
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
- ↑ Modèle:Article — Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ En utilisant que (1 – pxz)Modèle:Exp = 1 – pModèle:2x et que le produit des séries génératrices correspond à la convolution des suites, Modèle:Cf. Modèle:Lien web.
- ↑ Le corps L qu'ils engendrent, sur le corps de nombres K engendré par les coefficients de P, est même une extension finie car [L:K] = [L((X)):K((X))] = [K((X))(y):K((X))] ≤ N.