Convergence normale

Modèle:Ébauche En analyse, la convergence normale est l'un des modes de convergence d'une série de fonctions. Si $(f_n)$ est une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes définies sur un même ensemble X, la série de terme général $f_n$ converge normalement sur X s'il existe une suite de réels u_n tels que :

1. pour tout n, $|f_n|$ est majorée par u_n sur X ;
2. la série de terme général u_n converge.

Implications

• La convergence normale d'une telle série implique sa convergence uniforme. Par conséquent, tous les résultats qui concernent la convergence uniforme sont aussi valables pour la convergence normale. En particulier, si l'ensemble X est muni d'une topologie : Modèle:Énoncé

• La convergence normale d'une série implique également sa convergence absolue.
• La convergence uniforme comme la convergence absolue impliquent la convergence simple. Alors la convergence normale implique la convergence de la série.

Les implications réciproques sont fausses.

Histoire

Cette notion a été introduite par Karl Weierstrass, et baptisée « convergence normale » par René Baire.

Espaces vectoriels normés

Les fonctions bornées sur X à valeurs réelles ou complexes, munies de la norme infinie, forment un espace de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. La convergence normale d'une série de telles fonctions se réinterprète comme la convergence absolue dans cet espace : la série de terme général $f_n$ converge normalement sur X si

$\sum _n{\Vert f_n\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\mathrm{\infty }$.

Exemples

• La série de terme général $f_n(x)=\frac{2x}{x^2-n^2}$ converge normalement sur tout compact de R\Z.

$\pi \cot (\pi x)=\frac{1}{x}+\sum _{n\in {\mathbb{N}}^{*}}\frac{2x}{x^2-n^2}$.

• Soit $g_n$ le produit de $1/n$ par la fonction indicatrice de l'intervalle $[n,n+1[$. La série $\sum _{n\in {\mathbb{N}}^{*}}{g}_n$ n'est pas normalement convergente (${\Vert g_n\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1/n$) mais elle est uniformément convergente ($\Vert \sum _{n\ge N}{g}_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1/N$).
• Évoquer l'argument de convergence normale est une façon élégante de prouver la continuité de la courbe de Takagi.

Propriétés

• Toute combinaison linéaire de séries normalement convergentes est normalement convergente.
• Tout produit de séries normalement convergentes est normalement convergent.