Courbe du blanc-manger
En mathématiques, la courbe du blanc-manger est une courbe fractale constructible par subdivision de son ensemble de définition. Elle est aussi connue comme la courbe de Takagi, d'après Teiji Takagi qui l'a décrite en 1901, ou comme la courbe de Takagi-Modèle:Lien, une généralisation de la courbe. Le nom blanc-manger vient de sa ressemblance à l'entremets du même nom[1]Modèle:,[2]. C'est un cas particulier de courbe de De Rham.
Définition
La fonction blanc-manger est définie sur ℝ par : Modèle:Retrait où s est définie par Modèle:Retrait c'est-à-dire que Modèle:Math est la distance entre Modèle:Mvar et l'entier relatif le plus proche[3].
La série de fonctions définissant Modèle:Math pour tout nombre Modèle:Mvar est normalement convergente donc la fonction blanc-manger est continue (et 1-périodique, donc uniformément continue), mais elle n'est dérivable en aucun point[4]Modèle:,[3]. Sa courbe représentative est une fractale (c'est l'attracteur d'un système de fonctions itérées)[5].
La courbe de Takagi-Landsberg en est une généralisation donnée par la relation
pour un paramètre Modèle:Mvar. La valeur Modèle:Math, où Modèle:Math désigne le logarithme binaire, est appelée le « paramètre de Hurst ».
La courbe du blanc-manger est donc le cas Modèle:Math, c'est-à-dire Modèle:Math.
Construction graphique
La courbe du blanc-manger peut être construite à partir des fonctions en triangle. Sur les illustrations ci-dessous, les fonctions triangles (en rouge) sont progressivement ajoutées à la courbe à chaque étape.
-
n = 0 -
n ≤ 1 -
n ≤ 2 -
n ≤ 3
Primitive de la fonction
Étant donné que l'intégrale de 0 à 1 de la fonction Modèle:Math vaut 1/2, la relation Modèle:Retrait permet de calculer la primitive I s'annulant en 0 : Modèle:Retrait
Le calcul est récursif et son temps de calcul est de l'ordre du logarithme de la précision requise. Modèle:Retrait
Dimension fractale
La courbe de Takagi-Landsberg de paramètre de Hurst H a pour dimension de Hausdorff[6] 2 – H.
La dimension de Hausdorff de la courbe du blanc-manger, pour laquelle H = 1, vaut donc 1, malgré son aspect fractal.
Références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
Article
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:MathWorld.
- ↑ 3,0 et 3,1 Modèle:Lien web.
- ↑ Modèle:Lien web.
- ↑ Modèle:Lien web.
- ↑ Modèle:Quoi, cité dans Modèle:Ouvrage.