Fonction de Bolzano

Bernard Bolzano

La fonction de Bolzano est le premier exemple historique de construction d'une fonction continue nulle part dérivable. Elle est nommée d'après son auteur Bernard Bolzano, qui l'a définie vers 1830 et l'a présenté dans son ouvrage Modèle:Lang.

L'existence de fonctions continues mais nulle part dérivables était connue depuis Karl Weierstrass (lors de sa conférence devant l'Académie de Berlin en 1872) mais restait une étrangeté. L'exemple de la fonction de Weierstrass a été publié par Paul Du Bois-Reymond en 1875. Bernhard Riemann présente également un autre exemple en 1861 dans ses conférences et depuis, beaucoup ont été construits.

Définition

La fonction de Bolzano est définie comme la limite d'une suite de fonctions. De plus, on peut choisir le domaine de définition et l'ensemble d'images comme des intervalles fermés arbitraires de nombres réels.

Soit donc [a, b] l'intervalle de définition et [A, B] l'intervalle image.

Transformation linéaire par morceaux d'un segment entre $B_{k-1}$ et $B_k$ (version ascendante)

La première fonction BModèle:Ind sera la fonction affine telle que $B_0(a)=A,B_0(b)=B$, soit:

$B_0(x):=A+\frac{B-A}{b-a}(x-a)$

BModèle:Ind est une fonction linéaire par morceaux, chaque morceau étant défini sur quatre sous-intervalles de même taille comme suit :

1. $B_1(a)=A$
2. $B_1(a+\frac{3}{8}(b-a))=A+\frac{5}{8}(B-A)$
3. $B_1(\frac{1}{2}(a+b))=A+\frac{1}{2}(B-A)$
4. $B_1(a+\frac{7}{8}(b-a))=B+\frac{1}{8}(B-A)$
5. $B_1(b)=B$

BModèle:Ind sera ainsi également linéaire par morceaux, chaque morceau linéaire subissant la transformation analogue à celle appliquée à BModèle:Ind pour définir BModèle:Ind.

On définit alors par récurrence la suite de fonctions BModèle:Ind

La fonction B de Bolzano est la limite de cette suite en chaque point de l'intervalle [a,b] :

$\mathrm{\forall }x\in [a,b],B(x)=\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{B}_k(x).$

Référence

• Modèle:Ouvrage Modèle:Commentaire biblio SRL