Système de fonctions itérées

Attracteur de deux similitudes $z^{\prime }=\frac{(4+i)z+4}{10}$ et $z^{\prime }=\frac{(4+7i)\overline{z}+5-2i}{10}$.

En mathématiques, un système de fonctions itérées (SFI ou encore IFS, acronyme du terme anglais Modèle:Lang) est un outil pour construire des fractales. Plus précisément, l'attracteur d'un système de fonctions itérées est une forme fractale autosimilaire faite de la réunion de copies d'elle-même, chaque copie étant obtenue en transformant l'une d'elles par une fonction du système.

La théorie a été formulée lors d'un séjour à l'université de Princeton par John Hutchinson en 1980. Michael Barnsley a démontré, avec le théorème du collage, que tout ensemble compact de points peut être approximé d'un SFI.

Définition

Un SFI est une famille Modèle:Mvar de Modèle:Mvar fonctions contractantes $T_i:M\to M$ dans un espace métrique complet Modèle:MvarModèle:,.

On définit à partir des Modèle:Mvar une nouvelle fonction Modèle:Mvar, elle aussi contractante sur $(\mathscr{H}(M),h)$, l'ensemble des parties compactes de Modèle:Mvar muni de la distance de Hausdorff, par l'expression $T(A)=\bigcup _{i=1}^N{T}_i(A)$, appelée opérateur de Hutchinson de Modèle:Mvar.

$(\mathscr{H}(M),h)$ est un espace métrique complet.

Le théorème du point fixe de Banach assure l'existence et l'unicité d'un sous-ensemble Modèle:Mvar de Modèle:Mvar fixe par Modèle:Mvar.

Modèle:Mvar est appelé attracteur du SFI et noté Modèle:Math.

Remarques

• En pratique, on choisit un compact quelconque Modèle:Mvar, par exemple un point, et on considère la suite Modèle:Math, autrement dit l'orbite de Modèle:Mvar. Il est remarquable que cette suite converge alors, pour n'importe quel compact Modèle:Mvar, vers Modèle:Math. C'est de là que vient le terme dModèle:'itéré.
• La plupart des fonctions des SFI classiques sont des fonctions affinesModèle:,Modèle:,.
• On appelle flammes fractales des fractales obtenues par des fonctions non linéaires.

Flamme fractale.

Exemple

Considérons les deux homothéties définies sur $ℝ$ par $f_1(x)=\frac{x}{3},f_2(x)=\frac{x+2}{3}$. Les deux ont pour rapport $\frac{1}{3}$. La première a pour centre $0$ et la deuxième $1$. ${𝕂}_3$, l'ensemble triadique de Cantor vérifie alors ${𝕂}_3=f_1({𝕂}_3)\cup f_2({𝕂}_3)$. La famille de contractions est ici $\{f_1,f_2\}$ et ${𝕂}_3$ en est l'attracteurModèle:,.

Caractère d’auto similarité

le triangle de Sierpinski, forme de fractale en triangle obtenu à partir d'un seul triangle.

En reprenant les notations précédentes, il doit être précisé que l'on applique le théorème du point fixe dans l'espace métrique complet Modèle:Math des compacts non vides de Modèle:Math, muni de la distance de Hausdorff. Ainsi, Modèle:Mvar est lui-même un espace compact non vide de Modèle:Math, c'est-à-dire un fermé borné. Il doit aussi être précisé en quoi Modèle:Mvar est une fractale. En réécrivant l'égalité Modèle:Math, est obtenu : $F=\bigcup _{i=1}^N{T}_i(F)$. C'est l'égalité qui traduit l'intuition obtenue en observant bon nombre d'attracteurs de systèmes de fonctions itérées (la courbe de Lévy par exemple, l'ensemble de Cantor, le triangle de Sierpinski...). Le caractère d'autosimilarité est ici parfaitement définissable mathématiquement, et au moins exploitable dans le cadre restreint des attracteurs de systèmes de fonctions itérées. C'est celle choisie par John Hutchinson dès la première page de son article de 1980.

Géométrie des attracteurs

Soit $𝒜:=|\{f_1,f_2\}|$ un attracteur, où les $f_i$ sont injectives, et $K$ un compact.

(i) On suppose que $f_1(K)\cup f_2(K)\subset K\text{ et }{f}_1(K)\cap f_2(K)=\varnothing$ . Alors $𝒜$ est totalement discontinu.

(ii) On suppose que $f_1(K)\cup f_2(K)\subset K\text{ et }{f}_1(K)\cap f_2(K)\ne \varnothing$. Alors $𝒜$ est connexe.

Par exemple, l'ensemble triadique de Cantor est totalement discontinu.

Dimension de la fractale

De la construction du SFI, on peut déduire la dimension de Hausdorff de la fractale finale : si l'application Modèle:Mvar est contractante de rapport Modèle:Mvar, et que Modèle:Mvar(|Modèle:Mvar|) est disjoint de Modèle:Mvar(|Modèle:Mvar|), pour tous Modèle:Math distincts, alors la dimension de Modèle:Mvar est le réel Modèle:Mvar vérifiant :$\sum _{i=1}^N{k}_i^d=1.$

Une riche source de fractales

C'est en ces termes que Michael Barnsley explique l'intérêt du théorème suivant :

Exemples

• Le cas Modèle:Math fournit le disque unité.

représentation de l'ensemble de Julia (c=-1) avec turtle(python)

• Le cas Modèle:Math fournit l'ensemble de Julia associé, noté Modèle:Math. On peut prendre pour Modèle:Mvar le carré de centre 0 et de côté 4.

• On a, de façon générale, $A=\{x\in X\mid \mathrm{\forall }n=0,1,2...f^n(x)\in X\}$. Autrement dit, Modèle:Mvar est l'ensemble des points dont l'orbite ne s'échappe pas de Modèle:Mvar, où l'on appelle orbite d'un point $x\in X$ la suite Modèle:Math.

Exemples d'attracteurs classiques

La fougère de Barnsley, élaborée par un système de quatre fonctions affines.

• L'ensemble de Cantor

• Le tapis de Sierpiński, défini par 8 similitudes de rapports 1/3.
• La fougère de Barnsley, construite à partir de quatre contractions affines (rouge, bleu, cyan et vert sur l'illustration).
• La courbe de Takagi, attracteur d'une paire de contractions affines qui sont des composées de transvection avec une homothétie de rapport 1/2.
• La courbe de Koch et la courbe de Cesaro.
• L'escalier du diable
• La courbe de Hilbert.
• La courbe de Lévy
• La courbe du dragon
• L'éponge de Menger
• Un arbre fractal

Voir aussi

Article connexe

Jeu du chaos, une version simplifiée proposée par Barnsley.

Liens externes

Logiciels

• Apophysis, générateur de fractales supportant des fonctions non linéaires.
• Glito, programme libre permettant d'explorer les SFI de dimension 2 (applications affines, fonction sinusoïdales, ensemble de Julia).
• Générateur de SFI en ligne, proposant des systèmes de fonctions itérées classiques, et permettant également de créer des SFI inédits.