Transvection

Une transvection est une transformation géométrique.

Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.

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  Dessin d'origine
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  Résultat d'une transvection

Transvection vectorielle

Soient Modèle:Mvar un endomorphisme d'un espace vectoriel E, Modèle:Math l'ensemble des vecteurs invariants, et Modèle:Math (d'après le théorème du rang, Modèle:Math). Modèle:Clr

• On dit que Modèle:Mvar est une transvection si Modèle:Mvar est l'identité, ou si H est un hyperplan (base de la transvection) (ce qui revient à dire que D, direction de la transvection, est une droite) et D est inclus dans H (c'est-à-dire que pour tout Modèle:Mvar de E, Modèle:Math appartient à H).
• Condition équivalente 1 : Modèle:Mvar est linéaire, Modèle:Math est l'espace tout entier ou un hyperplan, et Modèle:Math.
• Condition équivalente 2 : il existe une forme linéaire Modèle:Mvar sur E et un vecteur Modèle:Mvar de Modèle:Math tels que pour tout Modèle:Mvar de E : Modèle:Math.

Les transvections sont bijectives (Modèle:Math) et, en dimension finie, sont de déterminant 1 ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SL(E) de E. L'ensemble des transvections de base H en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif H (à Modèle:Mvar de H, faire correspondre la transvection Modèle:Math).

Matrice de transvection

Dans une base de E contenant une base de H dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de D, la transvection a pour matrice une matrice du type

$\left(\begin{array}{cccc}1& & & 0\\ & 1& & \lambda & \\ & & \ddots & & \\ & 0& & 1& \\ & & & & 1\end{array}\right)=I_n+\lambda E_{i,j}$

avec Modèle:Math, la matrice Modèle:Math étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position Modèle:Math.

Ces matrices Modèle:Math sont appelées matrices élémentaires de transvection ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SLModèle:Ind(K).

La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est

$\left(\begin{array}{cc}{I}_{n-2}& \begin{array}{cc}0& 0\\ ⋮& ⋮\\ 0& 0\end{array}\\ \begin{array}{ccc}0& \dots & 0\\ 0& \dots & 0\end{array}& \begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\end{array}\right)=I_n+E_{n-1,n}.$

Exemples

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  Illustration

  La transvection associée à la matrice $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]$,illustrée ci-contre. Dans R², considérons u définie par u: X=(x,y)→(x+2y,y)=(x,y)+y(2,0)=X+g(X)c où g:X=(x,y)→y est une forme linéaire et c=(2,0). u est la transvection d'hyperplan l'axe des abscisses et de droite l'axe des abscisses. On retrouve la forme (condition équivalente n°2 ) proposée dans la définition générale.
• Les transvections utilisées pour définir la courbe de Takagi.

Transvection affine

Une transvection d'un espace affine E est soit l'identité, soit une application affine de E dans E dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan H de E (base de la transvection) et telle que pour tout point M le vecteur $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ reste parallèle à H. Les vecteurs $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ forment alors une droite vectorielle $\overrightarrow{D}$ (direction de la transvection).

Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.

Étant donnés deux points A et A' tels que la droite (AAModèle:') est parallèle à un hyperplan H, mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base H envoyant A sur A'  ; on obtient facilement l'image MModèle:' d'un point M par la construction de la figure ci-contre.

Transvection projective

Si l'on plonge l'espace affine E dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini H' , on sait que l'on peut munir le complémentaire E' de l'hyperplan H d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de H dans E deviennent parallèles dans E' et celles qui sont parallèles dans E deviennent sécantes en un point de H' ).

À toute transvection d'hyperplan H de E est alors associée une application affine de EModèle:' qui n'est autre qu'une translation.

Modèle:Refnec Si l'on Modèle:Interprétation personnelle de vecteur parallèle à la ligne d'horizon, on voit une transvection (cf figure ci-contre).

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que H et HModèle:' à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales.

Transvection euclidienne

Soit Modèle:Math une transvection d'un espace euclidien, $\overrightarrow{n}$ un vecteur normal et normé de sa base et D sa direction de vecteur directeur normé $\overrightarrow{u}$.

Avec les notations ci-contre, on a

$\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\lambda \overline{HM}\overrightarrow{u}.$

Le nombre Modèle:Math est alors le coefficient de la transvection, et son angle Modèle:Math est défini par Modèle:Math. Modèle:Clr

Réalisation d'une transvection par perspective parallèle

Plongeons l'espace euclidien Modèle:Math de dimension Modèle:Math comme hyperplan d'un espace Modèle:Math de dimension Modèle:Math et faisons tourner Modèle:Math autour de son hyperplan H, de façon à en obtenir une copie ${\tilde{E}}_n$.

Tout point M de Modèle:Math a une copie $\tilde{M}$ dans ${\tilde{E}}_n$, donc aussi l'image M' de M par une transvection de base H.

On montre que la droite $(M{\tilde{M}}^{\prime })$ garde une direction fixe D, ce qui montre que ${\tilde{M}}^{\prime }$ s'obtient par projection de M dans Modèle:Math (projection de base ${\tilde{E}}_n$ et de direction D). Modèle:Clr

Notes et références

Modèle:Références Source pour la partie projective : Alain Bigard, Géométrie, Cours et exercices corrigés pour le Capes et l'agrégation, Masson, 1998