Octadécagone

Un octadécagone ou octakaidécagone est un polygone à 18 sommets, donc 18 côtés et 135 diagonales.

La somme des angles internes d'un octadécagone non croisé vaut Modèle:Unité.

Nom

Le nom du polygone est formé à partir des préfixes octo et déca. Octo provient du grec ancien Modèle:Lang (octo, huit) et déca de Modèle:Lang (déca, dix). En grec ancien, dix-huit se dit Modèle:Lang (octo kai deka).

L'octadécagone régulier

Un octadécagone régulier est un octadécagone dont les 18 côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a trois : deux étoilés (les octadécagrammes notés {18/5} et {18/7}) et un convexe (noté {18}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'octadécagone régulier ».

L'octadécagone régulier convexe {18} et ses angles remarquables.

• Les deux octadécagones réguliers étoilés
• 
  {18/5} (angle interne : 80°)
• 
  {18/7} (angle interne : 40°)

Caractéristiques

Dans l'octadécagone régulier, chacun des 18 angles au centre mesure $\frac{360^{\circ }}{18}=20^{\circ }$ et chaque angle interne mesure $\frac{2880^{\circ }}{18}=160^{\circ }$.

Si Modèle:Math est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut $P=18a$ ;
• l'aire vaut $A=\frac{18}{4}{a}^2\cot \left(\frac{\pi }{18}\right)$ ;
• l'apothème vaut $H=\frac{2A}{P}=\frac{a}{2}\cot \left(\frac{\pi }{18}\right)$ ;
• le rayon vaut $R=\frac{H}{\cos \left(\frac{\pi }{18}\right)}=\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi }{18}\right)}$.

Propriétés

• L'octadécagone régulier n'est pas constructible à la règle et au compas.
• Son symbole de Schläfli est {18}.
• Son groupe de symétrie est le groupe diédral D₁₈.