Noyau de Dirichlet

Tracé des premiers noyaux de Dirichlet.

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le Modèle:Math-ième noyau de Dirichlet — nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Dirichlet — est le polynôme trigonométrique défini par :

$D_n(x)=\sum _{k=-n}^n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}=1+2\sum _{k=1}^n\cos (kx)$.

C'est donc une fonction Modèle:Math-périodique de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$. Elle vérifie de plus :

• si Modèle:Math n'est pas un multiple entier de Modèle:Math, alors $D_n(x)=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$ ;
• si Modèle:Math est un multiple entier de Modèle:Math, alors $D_n(x)=2n+1$.

Le noyau de Dirichlet permet notamment d'améliorer la convergence des séries de Fourier. Il intervient aussi en optique, pour rendre compte des franges et des compositions d'ondes cohérentes.

Considérations élémentaires

Équivalence des deux écritures du noyau de Dirichlet

Lorsque ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}=1$, c'est-à-dire lorsque Modèle:Math appartient à Modèle:Math, le noyau de Dirichlet est la somme de Modèle:Math termes chacun égaux à Modèle:Math, et vaut donc Modèle:Math.

Lorsque ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}\ne 1$, l'identité trigonométrique qui apparaît au début de l'article peut être établie par le calcul d'une somme d'une suite géométrique de raison ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}$ et en utilisant la formule d'Euler.

Propriétés du noyau de Dirichlet

• C'est un polynôme trigonométrique, donc une fonction ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$, Modèle:Math-périodique ;
• il est pair ;
• sa valeur moyenne est Modèle:Math ;
• le comportement asymptotique de sa norme de la convergence en moyenne est :

$\Vert D_n{\Vert }_1=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|D_n(t)|\mathrm{d}t=\frac{4}{{\pi }^2}\ln n+O(1)$.

Opérateur associé

Le Modèle:Math-ième terme de la série de Fourier d'une fonction Modèle:Math-périodique et intégrable $f$ s'écrit :

$S_n(f)(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)D_n(x-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{D}_n(t)f(x-t)\mathrm{d}t=(D_n\ast f)(x)$.

L'identité précédente est un produit de convolution, ou l'application d'un opérateur à noyau.

C'est à partir de cette expression et des propriétés du noyau de Dirichlet qu'on démontre le théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.

Cet opérateur est un opérateur borné sur l'espace des fonctions continues, dont la norme d'opérateur est majorée par $\Vert D_n{\Vert }_1$.

En spécialisant l'étude en un point Modèle:Math particulier, l'application $x\mapsto S_n(f)(x)$ a pour norme d'opérateur $\Vert D_n{\Vert }_1$ lui-même, qui tend vers l'infini avec Modèle:Math. À l'aide du théorème de Banach-Steinhaus, on peut en déduire qu'il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge au point Modèle:Math.

Introduction au formalisme des distributions

Le noyau de Dirichlet est Modèle:Math fois la somme d'ordre Modèle:Math du développement en série de Fourier du peigne de Dirac δModèle:Ind, qui est la [[Distribution tempérée#Distributions périodiques|distribution de période Modèle:Math]] donnée par

${\delta }_p(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-2\pi k)$

où δ est la « fonction » delta de Dirac, qui en réalité n'est pas une fonction mais une distribution. En d'autres termes, le développement en série de Fourier de la distribution δModèle:Ind s'écrit

${\delta }_p(x)=\frac{1}{2\pi }\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}=\frac{1}{2\pi }(1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (kx)).$

La distribution périodique δModèle:Ind est l'élément neutre pour le produit de convolution défini sur l'ensemble des fonctions de période Modèle:Math par

$(f\ast g)(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(y)g(x-y)\mathrm{d}y.$

Autrement dit,

pour toute fonction $f$ de période Modèle:Math, $f\ast {\delta }_p={\delta }_p\ast f=f$

Le produit de convolution de Modèle:Math avec n'importe quelle fonction $f$ de période Modèle:Math est égal à la somme d'ordre Modèle:Math du développement en série de Fourier de $f$, Modèle:C.-à-d. qu'on a

$(D_n\ast f)(x)=(f\ast D_n)(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(y)D_n(x-y)\mathrm{d}y=\sum _{k=-n}^n\hat{f}(k){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx},$

où

$\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}kx}\mathrm{d}x$

est le Modèle:Math-ième coefficient de Fourier de $f$.

Notes et références

• Modèle:Article.

Articles connexes

• Série de Fourier
• Noyau de Fejér