Carré sommable

En mathématiques, une fonction définie sur un espace mesuré Ω et à valeurs dans ℝ ou ℂ est dite de carré sommable ou de carré intégrable si elle appartient à l’[[Espace L2|espace Modèle:Math]] des fonctions dont l'intégrale du carré (du module dans le cas des nombres complexes) converge sur Ω.

Par exemple, une fonction mesurable $f$ de ℝ dans ℂ est de carré sommable lorsque l’intégrale suivante (au sens de Lebesgue)

$\underset{ℝ}{\int }|f(x){|}^2\mathrm{d}x$

converge, c'est-à-dire si elle existe et correspond ainsi à un nombre fini.

Définition formelle

Modèle:Article détaillé Considérons les fonctions mesurables définies sur l’ensemble ℝ et à valeurs dans ℂ dont l’intégrale (au sens de Lebesgue) du carré du module converge. Ces fonctions constituent un espace vectoriel ℒModèle:2(ℝ) qui, grâce à l'inégalité de Hölder, peut être muni de la forme hermitienne positive définie par

$(f,g{)}_2=\underset{ℝ}{\int }f(x)\bar{g}(x)\mathrm{d}x$

et de la semi-norme correspondante

$\Vert f{\Vert }_2={(\underset{ℝ}{\int }|f(x){|}^2\mathrm{d}x)}^{1/2}.$

Puisqu’une fonction $f$ de ℒModèle:2(ℝ) peut rester indéfinie sur un ensemble de mesure nulle sans affecter les intégrales précédentes, la relation d'équivalence « est égale presque partout » permet de constituer des classes de fonctions (notées provisoirement $[f]$) : deux fonctions sont alors dans la même classe si elles sont « égales presque partout », c’est-à-dire égales en dehors d’un ensemble de mesure nulle. L’ensemble de ces classes constitue l’espace vectoriel Modèle:Math.

Puisque le noyau de la semi-norme est l’ensemble des fonctions négligeables (c'est-à-dire nulles presque partout) de ℒModèle:2(ℝ), l’espace Modèle:Math acquiert une structure d’espace de Hilbert à l’aide du produit scalaire

$([f],[g]{)}_2=\underset{ℝ}{\int }f(x)\bar{g}(x)\mathrm{d}x$

et de la norme correspondante

$\Vert [f]{\Vert }_2={(\underset{ℝ}{\int }|f(x){|}^2\mathrm{d}x)}^{1/2}.$

Ces intégrales ne dépendent pas des représentants $f$ ou $g$ de ℒModèle:2(ℝ) choisis pour caractériser les classes $[f]$ ou $[g]$ de Modèle:Math.

Simplification en passant aux fonctions définies presque partout

Il est commode et fréquent d’identifier une fonction $f$ de ℒModèle:2(ℝ) à sa classe $[f]$ dans Modèle:Math. Ainsi :

• L’espace Modèle:Math des fonctions de carré sommable est l’ensemble des (classes d'égalité presque partout de) fonctions mesurables définies presque partout sur ℝ et à valeurs dans ℝ ou ℂ, telles que le carré de leur module soit Lebesgue-intégrable sur ℝ.
• Modèle:Math est un espace de Hilbert lorsqu’il est muni du produit scalaire

$(f,g{)}_2=\underset{ℝ}{\int }f(x)\bar{g}(x)\mathrm{d}x.$

Quelques propriétés

En tant qu’espace de Hilbert, Modèle:Math est un espace complet :

Si une suite $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ dans Modèle:Math est de Cauchy, alors il existe une limite $f$ dans Modèle:Math (c'est-à-dire une fonction définie presque partout sur ℝ et de carré sommable) telle que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{ℝ}{\int }|f-f_n{|}^2\mathrm{d}x=0.$

C’est la notion de convergence en moyenne quadratique. Elle n’implique pas nécessairement la convergence ponctuelle presque partout.

Cependant, de toute suite convergente de Modèle:Math, on peut extraire une sous-suite qui converge ponctuellement presque partout. En d’autres termes, si $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $f$ en moyenne quadratique, on peut trouver une partie infinie $K$ de ℕ et un ensemble $E$ de mesure nulle tels que

$\mathrm{\forall }x\notin E,\underset{n\in K,n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x).$

Le théorème de convergence dominée fournit une condition suffisante de convergence en moyenne quadratique :

Soit $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite dans Modèle:Math qui converge presque partout vers une limite $f$. S’il existe une fonction $h$ dans Modèle:Math et un ensemble $E$ de mesure nulle tels que

$\mathrm{\forall }x\notin E,|f_n(x)|\le h(x),$

alors $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge en moyenne quadratique vers $f$.

Les fonctions de carré sommable en physique

En physique quantique, une fonction d'onde $|\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)⟩$ associée à une particule est de carré sommable relativement à la variable spatiale. Physiquement, en effet, le carré du module de la fonction d'onde $|\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)⟩$ est une densité de probabilité de présence de la particule au point $\overrightarrow{r}$ et à l'instant $t$. Par conséquent, l'intégrale de ce carré vaut 1, puisque la particule se trouve quelque part dans l'espace. En termes plus mathématiques, une fonction d'onde est de norme 1 dans l'espace des fonctions de carré sommable.

Voir aussi

• [[Espace L1|Espace Modèle:Math]]
• [[Fonction localement intégrable|Espace Modèle:Math]]
• Espace de Sobolev
• Théorème de Riesz-Fischer