Théorème de convergence dominée

Henri-Léon Lebesgue (1875-1941)

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Exemples

Un cas particulier élémentaire mais utile

Soit $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle $I$ de la droite réelle. On fait les deux hypothèses suivantes :

• la suite $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge simplement vers une fonction $f$ ;
• il existe une fonction continue $g$ telle queModèle:RetraitAlorsModèle:Retrait

Remarques sur l'hypothèse de domination

L'existence d'une fonction intégrable $g$ majorant toutes les fonctions Modèle:Math équivaut à l'intégrabilité de la fonction $\underset{n}{\sup }|f_n|$ (la [[Borne supérieure et borne inférieure#Exemples|plus petite fonction majorant toutes les fonctions Modèle:Math]]).

Cette hypothèse est indispensable pour appliquer le théorème : par exemple sur Modèle:Math, la suite des fonctions Modèle:Math — où Modèle:Math et Modèle:Math désigne la fonction indicatrice de l'intervalle Modèle:Math — converge simplement vers la fonction nulle (la convergence est même uniforme) mais la suite des intégrales des Modèle:Math, loin de tendre vers l'intégrale (nulle) de cette limite, vaut constamment Modèle:Math. D'après le théorème, $\underset{n}{\sup }|f_n|$ n'est donc pas intégrable. (Effectivement : $\underset{n}{\sup }|f_n(t)|$ Modèle:Math, or la série harmonique diverge.)

Il peut cependant arriver que la conclusion souhaitée soit vraie sans qu'on puisse la déduire du théorème : par exemple sur Modèle:Math, la suite des fonctions Modèle:Math converge vers Modèle:Math à la fois simplement et dans [[Espace L1|Modèle:Math]], bien que Modèle:Math ne soit pas intégrable.

Convergence d'une suite d'indicatrices

Appliquons le théorème au cas où chaque Modèle:Mvar est l'indicatrice d'une partie Modèle:Mvar de Modèle:Mvar. Puisque ces fonctions sont à valeurs réelles, la convergence simple de cette suite de fonctions équivaut à l'égalité de ses limites inférieure et supérieure, respectivement égales aux indicatrices des limites inférieure et supérieure de la suite d'ensembles. On obtient donc :

Remarquons toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au théorème de convergence dominée. En effet

$\mu (A_n\mathrm{\Delta }A)=\mu (A_n\cup A)-\mu (A_n\cap A)\le \mu ({\cup }_{p\ge n}{A}_p)-\mu ({\cap }_{p\ge n}{A}_p)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mu (\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n)-\mu (\underset{n}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n)=0.$

Généralisation

En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :

Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.

Remarque :

Dans le cas d'une mesure de probabilité, la première hypothèse peut être modifiée en :

• la suite de fonctions $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge en probabilité vers une fonction mesurable Modèle:Mvar.

Exemple d'application

Si $f\in {\mathrm{L}}^1(ℝ)$, sa transformée de Fourier $y\mapsto \hat{f}(y)=\int f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}xy}\mathrm{d}x$ est continue. La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque $|f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}xy}|=|f(x)|$ ; le théorème de convergence dominée permet de voir que $\hat{f}$ est séquentiellement continue, donc continue.

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale paramétrique
• Théorème d'interversion série-intégrale
• Théorème de convergence monotone

Liens externes

• Théorème de la convergence dominée de Lebesgue. Corollaires sur les-mathematiques.net
• Le Théorème de la convergence dominée pour les fonctions Riemann-intégrables, J.-F. Burnol, notes d'un cours de DEUG à l'université de Lille
• Théorèmes de Lebesgue dans un cas simple